Usando a definição de integral imprópria, determine se as integrais a seguir convergem ou divergem. Se convergir, encontre o seu valor.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a integral impropria
converge ou diverge; se convergir, encontrar o seu valor.
Informações dadas: a função integranda é definida para
. O intervalo de integração é
, ou seja, a integral é imprópria por causa do limite superior infinito (não há singularidade para
porque
).
Informações dadas: a função integranda é
Passo 2
Definição usada (importante porque você pediu definição): usaremos a definição de integral imprópria em intervalo infinito. Dizemos que
quando esse limite existe finito. Se o limite existir e for finito, a integral converge; caso contrário, diverge. Vou aplicar essa definição diretamente. Como a integranda é soma de duas funções, é natural verificar as duas integrais separadamente:
Se cada uma dessas convergir, podemos somar os resultados (linearidade da integral quando as integrais individuais convergem).
Passo 3
Começo pela primeira integral. Defino
Calculo a primitiva de
. Uma primitiva é
, porque ao derivar
obtemos
. Assim,
Passo 4
Agora aplico a definição de integral imprópria tomando o limite quando
:
Como
quando
, o limite vale
. Logo a primeira integral converge e
Passo 5
Agora a segunda integral. Defino
Uma primitiva de
é
porque ao derivar
obtemos
. Portanto
Passo 6
Tomo o limite quando
:
Como
quando
, o limite é
. Assim a segunda integral também converge e vale
. (Observação didática rápida: isso coincide com a regra dos p-integrals;
converge se
. Aqui com
converge.)
Passo 7
Como ambas as integrais convergem (cada uma vale
), a integral original converge e o valor é a soma:
Resposta
Converge; valor