Usando a definição de integral imprópria, determine se as integrais a seguir convergem ou divergem. Se convergir, encontre o seu valor.
\int_{0}^{+\infty} e^{-2 x}+\frac{1}{(x+1)^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a integral impropria
\int_{0}^{+\infty} \left(e^{-2x}+\frac{1}{(x+1)^{3}}\right)\,dx
converge ou diverge; se convergir, encontrar o seu valor.
Informações dadas: a função integranda é f(x)=e^{-2x}+\dfrac{1}{(x+1)^3} definida para x\ge 0. O intervalo de integração é [0,+\infty), ou seja, a integral é imprópria por causa do limite superior infinito (não há singularidade para x\ge0 porque x+1>0).

Passo 2

Definição usada (importante porque você pediu definição): usaremos a definição de integral imprópria em intervalo infinito. Dizemos que
\int_{0}^{+\infty} f(x)\,dx := \lim_{b\to+\infty}\int_{0}^{b} f(x)\,dx,
quando esse limite existe finito. Se o limite existir e for finito, a integral converge; caso contrário, diverge. Vou aplicar essa definição diretamente. Como a integranda é soma de duas funções, é natural verificar as duas integrais separadamente:
\int_{0}^{+\infty} e^{-2x}\,dx \quad\text{e}\quad \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{(x+1)^3}\,dx.
Se cada uma dessas convergir, podemos somar os resultados (linearidade da integral quando as integrais individuais convergem).

Passo 3

Começo pela primeira integral. Defino
I_1(b)=\int_{0}^{b} e^{-2x}\,dx.
Calculo a primitiva de e^{-2x}. Uma primitiva é -\tfrac{1}{2}e^{-2x}, porque ao derivar -\tfrac{1}{2}e^{-2x} obtemos e^{-2x}. Assim,
I_1(b)=\left[-\tfrac{1}{2}e^{-2x}\right]_{0}^{b}=-\tfrac{1}{2}e^{-2b}-\bigl(-\tfrac{1}{2}e^{0}\bigr)=-\tfrac{1}{2}e^{-2b}+\tfrac{1}{2}.

Passo 4

Agora aplico a definição de integral imprópria tomando o limite quando b\to+\infty:
\int_{0}^{+\infty} e^{-2x}\,dx=\lim_{b\to+\infty} I_1(b)=\lim_{b\to+\infty}\left(-\tfrac{1}{2}e^{-2b}+\tfrac{1}{2}\right).
Como e^{-2b}\to 0 quando b\to+\infty, o limite vale \tfrac{1}{2}. Logo a primeira integral converge e
\int_{0}^{+\infty} e^{-2x}\,dx=\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Agora a segunda integral. Defino
I_2(b)=\int_{0}^{b}\frac{1}{(x+1)^3}\,dx=\int_{0}^{b}(x+1)^{-3}\,dx.
Uma primitiva de (x+1)^{-3} é -\tfrac{1}{2}(x+1)^{-2} porque ao derivar -\tfrac{1}{2}(x+1)^{-2} obtemos (x+1)^{-3}. Portanto
I_2(b)=\left[-\tfrac{1}{2}(x+1)^{-2}\right]_{0}^{b}=-\tfrac{1}{2}(b+1)^{-2}-\bigl(-\tfrac{1}{2}\cdot 1^{-2}\bigr)=-\tfrac{1}{2}(b+1)^{-2}+\tfrac{1}{2}.

Passo 6

Tomo o limite quando b\to+\infty:
\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{(x+1)^3}\,dx=\lim_{b\to+\infty} I_2(b)=\lim_{b\to+\infty}\left(-\tfrac{1}{2}(b+1)^{-2}+\tfrac{1}{2}\right).
Como (b+1)^{-2}\to 0 quando b\to+\infty, o limite é \tfrac{1}{2}. Assim a segunda integral também converge e vale \tfrac{1}{2}. (Observação didática rápida: isso coincide com a regra dos p-integrals; \int_{1}^{\infty} u^{-p}\,du converge se p>1. Aqui com p=3 converge.)

Passo 7

Como ambas as integrais convergem (cada uma vale \tfrac{1}{2}), a integral original converge e o valor é a soma:
\int_{0}^{+\infty}\left(e^{-2x}+\frac{1}{(x+1)^3}\right)\,dx=\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}=1.

Resposta

Converge; valor =1

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