Usando a definição de integral imprópria, determine se as integrais a seguir convergem ou divergem. Se convergir, encontre o seu valor.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da integral imprópria
e, se convergir, calcular o seu valor. O conteúdo aqui é classificação de integral imprópria com singularidade interior em
. Vamos usar a definição, dividindo em dois trechos em torno de
.
Passo 2
Note que
A singularidade ocorre em
, pois o expoente
. Portanto dividimos a integral em
Passo 3
Estudamos a convergência de cada parte separadamente. Para
fazemos a substituição
, logo
. Quando
,
; quando
,
. Então
Como o integrando é
com expoente
, essa integral converge.
Passo 4
Calculamos
Passo 5
Agora avaliamos
Fazemos
, então
. Quando
,
; quando
,
. Assim,
Como antes, o expoente
garante convergência.
Passo 6
Calculamos
Passo 7
Somando as duas partes, a integral original converge e vale
Resposta
A integral converge e