Usando a definição de integral imprópria, determine se as integrais a seguir convergem ou divergem. Se convergir, encontre o seu valor.
\int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt[5]{(x-1)^{4}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da integral imprópria
\int_{0}^{3}\frac{1}{\sqrt[5]{(x-1)^{4}}}\,dx
e, se convergir, calcular o seu valor. O conteúdo aqui é classificação de integral imprópria com singularidade interior em x=1. Vamos usar a definição, dividindo em dois trechos em torno de x=1.

Passo 2

Note que
\frac{1}{\sqrt[5]{(x-1)^{4}}} = |\,x-1\,|^{-\frac{4}{5}}.
A singularidade ocorre em x=1, pois o expoente -4/5<0. Portanto dividimos a integral em
\int_{0}^{3}|x-1|^{-\frac{4}{5}}\,dx = \int_{0}^{1}(1-x)^{-\frac{4}{5}}\,dx + \int_{1}^{3}(x-1)^{-\frac{4}{5}}\,dx.

Passo 3

Estudamos a convergência de cada parte separadamente. Para
\int_{0}^{1}(1-x)^{-\frac{4}{5}}\,dx,
fazemos a substituição t=1-x, logo dt=-dx. Quando x=0, t=1; quando x=1, t=0. Então
\int_{0}^{1}(1-x)^{-\frac{4}{5}}\,dx = \int_{t=1}^{0}t^{-\frac{4}{5}}(-dt) = \int_{0}^{1}t^{-\frac{4}{5}}\,dt.
Como o integrando é t^{-\frac{4}{5}} com expoente -\tfrac{4}{5}>-1, essa integral converge.

Passo 4

Calculamos
\int_{0}^{1}t^{-\frac{4}{5}}\,dt = \left[\frac{t^{1-\frac{4}{5}}}{1-\frac{4}{5}}\right]_{0}^{1} = \left[\frac{t^{\frac{1}{5}}}{\frac{1}{5}}\right]_{0}^{1} =5\bigl(1^{\frac{1}{5}}-0\bigr) =5.

Passo 5

Agora avaliamos
\int_{1}^{3}(x-1)^{-\frac{4}{5}}\,dx.
Fazemos u=x-1, então du=dx. Quando x=1, u=0; quando x=3, u=2. Assim,
\int_{1}^{3}(x-1)^{-\frac{4}{5}}\,dx = \int_{0}^{2}u^{-\frac{4}{5}}\,du.
Como antes, o expoente -\tfrac{4}{5}>-1 garante convergência.

Passo 6

Calculamos
\int_{0}^{2}u^{-\frac{4}{5}}\,du = \left[\frac{u^{\frac{1}{5}}}{\frac{1}{5}}\right]_{0}^{2} =5\bigl(2^{\frac{1}{5}}-0\bigr) =5\cdot2^{\frac{1}{5}}.

Passo 7

Somando as duas partes, a integral original converge e vale
5 + 5\cdot2^{\frac{1}{5}} =5\bigl(1+2^{\frac{1}{5}}\bigr).

Resposta

A integral converge e
\int_{0}^{3}\frac{1}{\sqrt[5]{(x-1)^{4}}}\,dx =5\bigl(1+2^{\tfrac{1}{5}}\bigr).

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