Usando a definição de integral imprópria, determine se as integrais a seguir convergem ou divergem. Se convergir, encontre o seu valor.
\int_{2}^{4} \frac{1}{(x-2)^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede para analisar a integral imprópria
\int_{2}^{4} \frac{1}{(x-2)^{3}}\,dx
que tem singularidade no limite inferior x=2. O conteúdo aqui é integral imprópria por descontinuidade no intervalo, e vamos usar a definição via limite.

Passo 2

Reescrevemos a integral como limite da integral de Riemann em torno do ponto de descontinuidade:
\int_{2}^{4} \frac{1}{(x-2)^{3}}\,dx = \lim_{a \to 2^{+}} \int_{a}^{4} (x-2)^{-3}\,dx.

Passo 3

Calculamos a primitiva de (x-2)^{-3}. Fazendo u = x-2, du = dx,
\int (x-2)^{-3}\,dx = \int u^{-3}\,du = \frac{u^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2\,(x-2)^{2}}.

Passo 4

Avaliamo-la entre x = a e x = 4:
\int_{a}^{4} (x-2)^{-3}\,dx = \left[-\frac{1}{2\,(x-2)^{2}}\right]_{a}^{4} = -\frac{1}{2\,(4-2)^{2}} + \frac{1}{2\,(a-2)^{2}} = -\frac{1}{8} + \frac{1}{2\,(a-2)^{2}}.
Ao fazermos a \to 2^{+}$, o termo \(\frac{1}{2\,(a-2)^{2}} cresce sem limite, portanto o limite não existe finitamente.)

Resposta

A integral diverge.

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