Usando a definição de integral imprópria, determine se as integrais a seguir convergem ou divergem. Se convergir, encontre o seu valor.
\int_{-\infty}^{0} x e^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da integral imprópria
\int_{-\infty}^{0} x\,e^{2}\,dx
e, caso ela convirja, calcular o seu valor. O conteúdo envolvido é integral imprópria em intervalo não limitado à esquerda. Vamos usar a definição
\int_{-\infty}^{0} x\,e^{2}\,dx = \lim_{a\to -\infty} \int_{a}^{0} x\,e^{2}\,dx.

Passo 2

Note que e^{2} é constante em relação a x, então podemos fatorá-lo:
\int_{a}^{0} x\,e^{2}\,dx = e^{2} \int_{a}^{0} x\,dx.

Passo 3

Calcule a integral de x em [a,0]. Uma antiderivada de x é \tfrac{x^{2}}{2}, logo
\int_{a}^{0} x\,dx = \left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{x=a}^{x=0} = \frac{0^{2}}{2} - \frac{a^{2}}{2} = -\frac{a^{2}}{2}.
Multiplicando por e^{2}, obtemos
\int_{a}^{0} x\,e^{2}\,dx = -\frac{e^{2}\,a^{2}}{2}.

Passo 4

Agora avaliamos o limite quando a\to -\infty:
\lim_{a\to -\infty}\bigl(-\tfrac{e^{2}\,a^{2}}{2}\bigr) = -\infty.
Como esse limite não é finito, a integral diverge.

Resposta

A integral diverge; não há valor finito.

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