e C é a curva de interseção da quádrica: x^{2}+y^{2}-2 y+z^{2}-6 z+9=0, com o plano z=5-y, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha \displaystyle\int_{C}F\cdot d r, onde foi dada a campo vetorial F e a curva C é a interseção da quádruica
x^{2}+y^{2}-2y+z^{2}-6z+9=0
com o plano
z=5-y,
orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. Listei as informações dadas e o que precisa ser encontrado:
Campo vetorial (estou interpretando os três componentes como, separadamente):
(Interpretei \operatorname{tg}^{-1} como \tan^{-1} e \operatorname{sen} como \sin.)
Curva C: interseção da superfície quadrática dada com o plano z=5-y. A orientação é anti-horária vista de cima (isto é, contrária ao sentido horário quando olhamos do eixo +z).
Objetivo: calcular \displaystyle\int_{C}F\cdot d r.
Passo 2
Decisão sobre a superfície para aplicar o Teorema de Stokes (a explicação teórica):
O Teorema de Stokes diz que, para uma superfície orientada S com bordo \partial S=C,
\int_{C}F\cdot d r=\iint_{S}(\nabla\times F)\cdot \mathbf{n}\,dS,
onde \nabla\times F é o rotacional (curl) de F e \mathbf{n}\,dS é o vetor área orientado da superfície.
Uma escolha natural aqui é tomar S como a parte do plano z=5-y limitada pela curva C (facilita a parametrização e projeção). A orientação da normal deve ser tal que o bordo C fique orientado anti-horário visto de cima; para isso precisamos escolher a normal com componente z positiva (normal “para cima”).
Passo 3
Cálculo do rotacional \nabla\times F. Defino P,Q,R conforme no Passo 1. A fórmula do rotacional é
(Deixei a expressão expandida para mostrar cada termo — na prática ela será útil apenas se precisássemos dela; veremos que na integral este termo não contribui por ficar multiplicado por zero.)
Observação importante: o primeiro componente do rotacional multiplica zero e desaparece, por isso o integrando ficou simplesmente a constante 3. Isso facilita muito a integral.