Calcular a área da porção do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, compreendida entre os cilindros x^{2}+z^{2}= 1 e y^{2}+z^{2}=4.

Passo 1

O enunciado pede a área da porção do cone dada por z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} que fica “compreendida entre” as superfícies cilíndricas x^{2}+z^{2}=1 e y^{2}+z^{2}=4. Informações relevantes dadas:
\text{cone: } z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}
\text{cilindro 1: } x^{2}+z^{2}=1
\text{cilindro 2: } y^{2}+z^{2}=4
A pergunta é: qual é a área da parte do cone limitada pelas curvas de interseção desse cone com os dois cilindros? Não há imagem fornecida, só as equações.

Passo 2

Vamos escolher coordenadas e um parâmetro prático para a superfície do cone. Uma boa escolha é usar as coordenadas cilíndricas no plano xy: escrevemos um ponto do cone pelo par de parâmetros (r,\theta) onde r\ge0 é a distância radial no plano xy e \theta é o ângulo polar. No cone dado temos z=\sqrt{x^2+y^2}=r. Então uma parametrização natural do cone é
\mathbf{R}(r,\theta)=\big(r\cos\theta,\; r\sin\theta,\; r\big),
com \theta\in[0,2\pi) e r\ge0. Aqui r é a mesma coordenada radial do plano xy e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x.

Passo 3

Agora determinamos, para cada \theta, onde a geratriz do cone (fixo \theta, variando r) corta cada cilindro. Substituímos a parametrização nas equações dos cilindros.
No cilindro x^{2}+z^{2}=1 temos
(r\cos\theta)^2 + r^2 = 1 \quad\Longrightarrow\quad r^2\big(\cos^2\theta+1\big)=1,
logo a interseção dá
r = r_1(\theta)=\frac{1}{\sqrt{1+\cos^2\theta}}.
No cilindro y^{2}+z^{2}=4 temos
(r\sin\theta)^2 + r^2 = 4 \quad\Longrightarrow\quad r^2\big(\sin^2\theta+1\big)=4,
logo
r = r_2(\theta)=\frac{2}{\sqrt{1+\sin^2\theta}}.
Essas duas curvas são as fronteiras do pedaço do cone; a porção “entre” os cilindros corresponde, para cada \theta, ao intervalo radial r_1(\theta)\le r\le r_2(\theta), desde que r_2(\theta)\ge r_1(\theta).

Passo 4

Precisamos verificar que r_2(\theta)\ge r_1(\theta) para todo \theta, para garantir que a região é realmente r entre essas duas funções. Compare r_2^2-r_1^2:
r_2^2-r_1^2=\frac{4}{1+\sin^2\theta}-\frac{1}{1+\cos^2\theta}.
Colocando em denominador comum e simplificando obtemos
r_2^2-r_1^2=\frac{4(1+\cos^2\theta)-(1+\sin^2\theta)}{(1+\sin^2\theta)(1+\cos^2\theta)} =\frac{3+4\cos^2\theta-\sin^2\theta}{(1+\sin^2\theta)(1+\cos^2\theta)}.
Usando \sin^2\theta=1-\cos^2\theta
3+4\cos^2\theta-\sin^2\theta=3+4\cos^2\theta-(1-\cos^2\theta)=2+5\cos^2\theta>0.
Portanto r_2^2-r_1^2>0 para todo \theta, isto é, r_2(\theta)>r_1(\theta) sempre. Logo a região é bem definida por r indo de r_1(\theta) até r_2(\theta) para \theta\in[0,2\pi].

Passo 5

Agora precisamos do elemento de área da superfície parametrizada por \mathbf{R}(r,\theta). A fórmula geral: se \mathbf{R}(u,v) é uma parametrização, o elemento de área é \lVert \mathbf{R}_u\times\mathbf{R}_v\rVert\,du\,dv. Calculemos as derivadas parciais:
\mathbf{R}_r=(\cos\theta,\;\sin\theta,\;1),\qquad \mathbf{R}_\theta=(-r\sin\theta,\;r\cos\theta,\;0).
O produto vetorial é
\mathbf{R}_r\times\mathbf{R}_\theta=(-r\cos\theta,\;-r\sin\theta,\;r).
O comprimento desse vetor é
\lVert \mathbf{R}_r\times\mathbf{R}_\theta\rVert = r\sqrt{\cos^2\theta+\sin^2\theta+1}=r\sqrt{2}.
Portanto o elemento de área é
dS = r\sqrt{2}\,dr\,d\theta.
Observação intuitiva: o fator r vem da escala radial e o \sqrt{2} reflete a inclinação de 45^\circ do cone (o fator \sqrt{1+(\partial z/\partial r)^2} que aparece em superfícies de revolução).

Passo 6

Montamos a integral dupla para a área A da região do cone:
A=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} r\sqrt{2}\,dr\,d\theta.
Integramos primeiro em r:
\int_{r_1}^{r_2} r\,dr=\frac{1}{2}\big(r_2^2-r_1^2\big).
Logo
A=\sqrt{2}\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{2}\big(r_2^2(\theta)-r_1^2(\theta)\big)\,d\theta =\frac{\sqrt{2}}{2}\int_{0}^{2\pi}\left(\frac{4}{1+\sin^2\theta}-\frac{1}{1+\cos^2\theta}\right)d\theta.

Passo 7

Observe que, ao integrar ao longo de 0 a 2\pi, as funções de \sin^2\theta e \cos^2\theta têm a mesma distribuição (trocar \theta por \theta+\pi/2 troca seno e cosseno). Assim
\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{1+\cos^2\theta}\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{1+\sin^2\theta}\,d\theta.
Definindo
J=\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{1+\sin^2\theta}\,d\theta,
temos então a diferença
\int_{0}^{2\pi}\left(\frac{4}{1+\sin^2\theta}-\frac{1}{1+\cos^2\theta}\right)d\theta =3J.
Portanto
A=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot 3J=\frac{3\sqrt{2}}{2}\,J.

Passo 8

Agora calculamos J. Use a identidade de ângulo duplo:
\sin^2\theta=\frac{1-\cos 2\theta}{2}\quad\Longrightarrow\quad 1+\sin^2\theta=\frac{3-\cos 2\theta}{2}.
Assim
J=\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{1+\sin^2\theta}\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\frac{2}{3-\cos 2\theta}\,d\theta.
Chamando \varphi=2\theta (então d\varphi=2\,d\theta), observamos que ao transformar os limites \theta\in[0,2\pi] temos \varphi\in[0,4\pi], mas a função \frac{1}{3-\cos\varphi} tem período 2\pi, então duas voltas de 0 a 4\pi valem duas vezes a integral de 0 a 2\pi. Fazendo a mudança:
J=2\int_{0}^{2\pi}\frac{d\theta}{3-\cos 2\theta} =2\cdot\int_{0}^{2\pi}\frac{d\varphi}{3-\cos\varphi}.

Passo 9

Usamos a integral padrão (que pode ser obtida por substituição trigonométrica de meia-ângulo):
\int_{0}^{2\pi}\frac{d\varphi}{a+b\cos\varphi}=\frac{2\pi}{\sqrt{a^2-b^2}},\qquad a>|b|.
Aqui a=3 e b=-1 (ou b=1, o sinal não altera a fórmula com coseno), então
\int_{0}^{2\pi}\frac{d\varphi}{3-\cos\varphi}=\frac{2\pi}{\sqrt{3^2-1^2}}=\frac{2\pi}{\sqrt{8}}=\frac{2\pi}{2\sqrt{2}}=\frac{\pi}{\sqrt{2}}.
Portanto, voltando para J,
J=2\cdot\frac{\pi}{\sqrt{2}}=\frac{2\pi}{\sqrt{2}}=\pi\sqrt{2}.

Passo 10

Substituímos J=\pi\sqrt{2} em A=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\,J:
A=\frac{3\sqrt{2}}{2}\cdot\pi\sqrt{2}=\frac{3\cdot 2\pi}{2}=3\pi.

Resposta

3\pi

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