Calcular a área da porção do cone
, compreendida entre os cilindros
1 e
.
Passo 1
O enunciado pede a área da porção do cone dada por
que fica “compreendida entre” as superfícies cilíndricas
e
. Informações relevantes dadas:
A pergunta é: qual é a área da parte do cone limitada pelas curvas de interseção desse cone com os dois cilindros? Não há imagem fornecida, só as equações.
Passo 2
Vamos escolher coordenadas e um parâmetro prático para a superfície do cone. Uma boa escolha é usar as coordenadas cilíndricas no plano
: escrevemos um ponto do cone pelo par de parâmetros
onde
é a distância radial no plano
e
é o ângulo polar. No cone dado temos
. Então uma parametrização natural do cone é
com
e
. Aqui
é a mesma coordenada radial do plano
e
é o ângulo medido a partir do eixo
.
Passo 3
Agora determinamos, para cada
, onde a geratriz do cone (fixo
, variando
) corta cada cilindro. Substituímos a parametrização nas equações dos cilindros.
No cilindro
temos
logo a interseção dá
No cilindro
temos
logo
Essas duas curvas são as fronteiras do pedaço do cone; a porção “entre” os cilindros corresponde, para cada
, ao intervalo radial
, desde que
.
Passo 4
Precisamos verificar que
para todo
, para garantir que a região é realmente
entre essas duas funções. Compare
:
Colocando em denominador comum e simplificando obtemos
Usando
dá
Portanto
para todo
, isto é,
sempre. Logo a região é bem definida por
indo de
até
para
.
Passo 5
Agora precisamos do elemento de área da superfície parametrizada por
. A fórmula geral: se
é uma parametrização, o elemento de área é
. Calculemos as derivadas parciais:
O produto vetorial é
O comprimento desse vetor é
Portanto o elemento de área é
Observação intuitiva: o fator
vem da escala radial e o
reflete a inclinação de
do cone (o fator
que aparece em superfícies de revolução).
Passo 6
Montamos a integral dupla para a área
da região do cone:
Integramos primeiro em
:
Logo
Passo 7
Observe que, ao integrar ao longo de
a
, as funções de
e
têm a mesma distribuição (trocar
por
troca seno e cosseno). Assim
Definindo
temos então a diferença
Portanto
Passo 8
Agora calculamos
. Use a identidade de ângulo duplo:
Assim
Chamando
(então
), observamos que ao transformar os limites
temos
, mas a função
tem período
, então duas voltas de
a
valem duas vezes a integral de
a
. Fazendo a mudança:
Passo 9
Usamos a integral padrão (que pode ser obtida por substituição trigonométrica de meia-ângulo):
Aqui
e
(ou
, o sinal não altera a fórmula com coseno), então
Portanto, voltando para
,
Passo 10
Substituímos
em
: