Use o método discutido em “Equações na forma d y / d x=G(a x+ by)” para solucionar os problemas
d y / d x=(x-y+5)^2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
dydx = (x - y + 5)^2
Esse tipo de EDO de primeira ordem tem o lado direito dependente de uma combinação linear de x e y. Vamos usar uma mudança de variável que torne essa combinação em uma única nova variável.

Passo 2

Definimos a nova variável
u = x - y + 5
Dessa forma o membro direito da EDO fica apenas em função de u.

Passo 3

Calculamos tfracdudx. Como
u = x - y + 5
temos
dudx = 1 - dydx
Mas tfracdydx=u^2, logo
dudx = 1 - u^2

Passo 4

A EDO em u é separável:
dudx = 1 - u^2 Longrightarrow du1 - u^2 = dx
Integramos ambos os lados:
integral du1 - u^2 = integral dx

Passo 5

Sabemos que
integral du1 - u^2 = arctanh(u) + C1, integral dx = x + C2
Unindo as constantes numa só C, obtemos
arctanh(u) = x + C

Passo 6

Invertendo a arctanh,
u = tanh(x + C)
Voltando à variável original:
x - y + 5 = tanh(x + C) Longrightarrow y = x + 5 - tanh(x + C)

Resposta

A solução geral da EDO é
y(x) = x + 5 - tanhl(x + Cr),
onde C é a constante de integração.

Exercícios relacionados