Informações relevantes que temos: cada item dá uma função f(x,y) e um ponto (x_0,y_0) para onde (x,y) tende; precisamos provar que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\delta, teremos |f(x,y)-L|<\varepsilon, onde L é o limite proposto.
Passo 2
Vou lembrar rapidinho e didaticamente a definição de limite para funções de duas variáveis e duas ferramentas que vamos usar.
Definição (vareiinha, mas precisa): dizemos que
\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y)=L
se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que sempre que
\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\delta
então
|f(x,y)-L|<\varepsilon.
Duas desigualdades/observações úteis que vou usar sem dó:
Desigualdade triangular: para quaisquer números reais a,b,
|a+b|\le |a|+|b|.
Se definirmos r=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}, então
|x-x_0|\le r,\qquad |y-y_0|\le r.
Especialmente, no caso (x_0,y_0)=(0,0) escrevemos r=\sqrt{x^2+y^2} e então |x|\le r e |y|\le r.
Com isso na manga, vamos para as provas item a item. Vou escolher \delta explicitamente em função de \varepsilon e mostrar que funciona.
Passo 3
Prova do item (a): provar que
\lim_{\substack{x\to -1\\\ y\to 2}}(5x-2y)=-9.
Começo calculando a diferença entre a função e o valor proposto:
|5x-2y-(-9)|=|5x-2y+9|.
Reescrevo em termos de deslocamentos em relação ao ponto (-1,2):
5x-2y+9 = 5(x+1) - 2(y-2),
logo, pela desigualdade triangular,
|5x-2y+9| \le 5|x+1| + 2|y-2|.
Se \sqrt{(x+1)^2+(y-2)^2}<\delta então |x+1|<\delta e |y-2|<\delta. Para garantir que 5|x+1|+2|y-2|<\varepsilon basta impor
Dado \varepsilon>0, basta exigir r^{2}<\varepsilon, i.e. r<\sqrt{\varepsilon}. Assim podemos escolher
\delta = \sqrt{\varepsilon}.
Então, se \sqrt{x^2+y^2}<\delta obtemos \left|x y^{3}/(x^{2}+y^{2})\right|<\varepsilon. Isso mostra que o limite é 0.
(Se quiser ser extremamente cauteloso, poderíamos tomar \delta=\min(1,\sqrt{\varepsilon}), mas não é necessário; \delta=\sqrt{\varepsilon} já funciona para qualquer \varepsilon>0.)