Mostrar que os limites seguintes não existem:
a) \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}
b) \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{2 x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}
c) \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{x-y}{2 x+y}
d) \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{x y}{x^{2}+y^{2}}
e) \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{3 x y}{4 x^{2}+5 y^{2}}
f) \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{x^{2}-4 y^{2}}{x^{2}+y^{2}}
g) \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{x^{3}}{x^{3}+y^{2}}
h) \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{y^{4}+3 x^{2} y^{2}+2 y x^{3}}{\left(y^{2}+x^{2}\right)^{2}}
i) \lim _{\substack{x \rightarrow 1 \\ y \rightarrow 0}} \frac{(x-1)^{2} y}{(x-1)^{4}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede que mostremos que os seguintes limites não existem (cada item é um limite em duas variáveis no ponto indicado). Lista dos limites a analisar:
a) \displaystyle \lim_{\substack{x\to 0\\\ y\to 0}} \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}
b) \displaystyle \lim_{\substack{x\to 0\\\ y\to 0}} \frac{2x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}
c) \displaystyle \lim_{\substack{x\to 0\\\ y\to 0}} \frac{x-y}{2x+y}
d) \displaystyle \lim_{\substack{x\to 0\\\ y\to 0}} \frac{xy}{x^{2}+y^{2}}
e) \displaystyle \lim_{\substack{x\to 0\\\ y\to 0}} \frac{3xy}{4x^{2}+5y^{2}}
f) \displaystyle \lim_{\substack{x\to 0\\\ y\to 0}} \frac{x^{2}-4y^{2}}{x^{2}+y^{2}}
g) \displaystyle \lim_{\substack{x\to 0\\\ y\to 0}} \frac{x^{3}}{x^{3}+y^{2}}
h) \displaystyle \lim_{\substack{x\to 0\\\ y\to 0}} \frac{y^{4}+3x^{2}y^{2}+2yx^{3}}{(y^{2}+x^{2})^{2}}
i) \displaystyle \lim_{\substack{x\to 1\\\ y\to 0}} \frac{(x-1)^{2}y}{(x-1)^{4}+y^{2}}
Objetivo em cada item: provar que o limite não existe, normalmente encontrando duas curvas/rachas de aproximação ao ponto que geram valores diferentes do limite. A seguir vou resolver item por item, explicando passo a passo os raciocínios usados.

Passo 2

(a) Vamos mostrar que \displaystyle \lim_{\substack{x\to 0\\\ y\to 0}} \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}} não existe.
Conceito usado: se o limite existisse, deveria ser o mesmo aproximando-se por qualquer caminho. Então escolhemos caminhos simples.
  • Aproximação pela reta y=0. Substituindo y=0 (com x\neq 0):
\frac{x^{2}-0^{2}}{x^{2}+0^{2}}=\frac{x^{2}}{x^{2}}=1.
Ao levar x\to 0 por essa trajetória, a expressão vale sempre 1, logo o limite ao longo de y=0 é 1.
  • Aproximação pela reta x=0. Substituindo x=0 (com y\neq 0):
\frac{0^{2}-y^{2}}{0^{2}+y^{2}}=\frac{-y^{2}}{y^{2}}=-1.
Ao levar y\to 0 por essa trajetória, a expressão vale sempre -1, logo o limite ao longo de x=0 é -1.
Como dois caminhos deram valores diferentes ( 1 e -1), o limite não existe.

Passo 3

(b) Vamos mostrar que \displaystyle \lim_{\substack{x\to 0\\\ y\to 0}} \frac{2x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} não existe.
Ideia: escolher caminhos que preservem sinais de x e comparar valores.
  • Aproximação pela reta y=0. Para x\neq 0:
\frac{2x}{\sqrt{x^{2}+0^{2}}}=\frac{2x}{|x|}=2\cdot\operatorname{sgn}(x).
Se aproximamos do ponto com x\to 0^{+} (pela direita em x sobre y=0), obtemos 2. Se aproximamos com x\to 0^{-}, obtemos -2. Ou seja, por caminhos sobre y=0 há duas sequências que dão limites diferentes.
Já basta: dois caminhos (mesmo ambos dentro de y=0, mas com sinais de x diferentes) dão valores diferentes, então o limite em (0,0) não existe.
Observação extra: se preferir uma família de retas y=mx, obtemos
\frac{2x}{\sqrt{x^{2}+m^{2}x^{2}}}=\frac{2x}{|x|\sqrt{1+m^{2}}}= \frac{2}{\sqrt{1+m^{2}}}\operatorname{sgn}(x),
valor que depende do sinal de x; já mostra não unicidade.

Passo 4

(c) Vamos mostrar que \displaystyle \lim_{\substack{x\to 0\\\ y\to 0}} \frac{x-y}{2x+y} não existe.
Escolhemos duas retas simples:
  • Pela reta y=0:
\frac{x-0}{2x+0}=\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}\quad(\text{para }x\neq 0).
Logo o limite ao longo de y=0 é \tfrac{1}{2}.
  • Pela reta y=x:
\frac{x-x}{2x+x}=\frac{0}{3x}=0\quad(\text{para }x\neq 0).
Logo o limite ao longo de y=x é 0.
Como \tfrac{1}{2}\neq 0, o limite não existe.
Observação: cuidado com a reta y=-2x, pois aí o denominador 2x+y é zero para pontos diferentes da origem; não podemos usar caminhos que passem por pontos onde a função não está definida, a menos que consideremos limites laterais evitando esses pontos. As retas usadas acima são válidas porque o denominador não zera nelas (exceto no ponto de interesse).

Passo 5

(d) Vamos mostrar que \displaystyle \lim_{\substack{x\to 0\\\ y\to 0}} \frac{xy}{x^{2}+y^{2}} não existe.
Aqui é muito natural usar coordenadas polares. Vou explicar rápido a ideia: em polares escrevemos x=r\cos\theta e y=r\sin\theta, com r\ge 0 e \theta o ângulo. Ao aproximar (x,y)\to(0,0) corresponde a r\to 0 com \theta podendo variar.
Substituindo:
\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}=\frac{(r\cos\theta)(r\sin\theta)}{r^{2}\cos^{2}\theta + r^{2}\sin^{2}\theta} =\frac{r^{2}\cos\theta\sin\theta}{r^{2}}=\cos\theta\sin\theta.
Observe que a dependência em r cancelou: o valor da expressão depende só de \theta, ou seja, do caminho de aproximação (do ângulo). Por exemplo:
  • Para \theta=0 (reta y=0) temos \cos0\sin0=0.
  • Para \theta=\pi/4 (reta y=x) temos \cos(\pi/4)\sin(\pi/4)=\tfrac{\sqrt 2}{2}\cdot\tfrac{\sqrt 2}{2}=\tfrac12.
Como valores diferentes aparecem dependendo de \theta, o limite não existe.
Dica prática na prova: sempre que a substituição polar cancelar r e deixar função de \theta, o limite geralmente não existe (salvo se a função resultante for constante em \theta).

Passo 6

(e) Vamos mostrar que \displaystyle \lim_{\substack{x\to 0\\\ y\to 0}} \frac{3xy}{4x^{2}+5y^{2}} não existe.
Método: aproximar por retas y=mx. Substituindo y=mx (com x\neq 0):
\frac{3x(mx)}{4x^{2}+5(m^{2}x^{2})}=\frac{3m x^{2}}{(4+5m^{2})x^{2}}=\frac{3m}{4+5m^{2}}.
O resultado não depende de x e depende de m. Portanto o valor do limite varia com a inclinação m da reta usada para aproximar a origem.
Exemplos numéricos simples:
  • Para m=0 (reta y=0) o valor é 0.
  • Para m=1 (reta y=x) o valor é \dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}.
Como aparecem valores diferentes, o limite não existe.

Passo 7

(f) Vamos mostrar que \displaystyle \lim_{\substack{x\to 0\\\ y\to 0}} \frac{x^{2}-4y^{2}}{x^{2}+y^{2}} não existe.
Escolhemos dois caminhos simples:
  • Pela reta y=0:
\frac{x^{2}-0}{x^{2}+0}=1.
  • Pela reta x=0:
\frac{0-4y^{2}}{0+y^{2}}=\frac{-4y^{2}}{y^{2}}=-4.
Valores distintos ( 1 e -4) → limite não existe.

Passo 8

(g) Vamos mostrar que \displaystyle \lim_{\substack{x\to 0\\\ y\to 0}} \frac{x^{3}}{x^{3}+y^{2}} não existe.
Escolhemos caminhos:
  • Pela reta y=0:
\frac{x^{3}}{x^{3}+0}=1\quad(\text{para }x\neq 0),
logo ao aproximar por y=0 com x\to 0 obtemos 1.
  • Pela reta x=0:
\frac{0}{0+y^{2}}=0\quad(\text{para }y\neq 0),
logo ao aproximar por x=0 com y\to 0 obtemos 0.
Como 1\neq 0, o limite não existe.
Comentário: observe que a expressão tem potências de ordens diferentes ( x^{3} e y^{2}), isso frequentemente gera caminhos que destacam um tipo de termo ou outro, produzindo limites diferentes.

Passo 9

(h) Vamos mostrar que \displaystyle \lim_{\substack{x\to 0\\\ y\to 0}} \frac{y^{4}+3x^{2}y^{2}+2yx^{3}}{(y^{2}+x^{2})^{2}} não existe.
Usamos coordenadas polares porque o denominador é (x^{2}+y^{2})^{2}=r^{4} e o numerador também terá fator r^{4} (veremos que cancelam). Substituindo x=r\cos\theta, y=r\sin\theta:
Calcule o numerador termo a termo:
  • y^{4}=(r\sin\theta)^{4}=r^{4}\sin^{4}\theta.
  • 3x^{2}y^{2}=3(r\cos\theta)^{2}(r\sin\theta)^{2}=3r^{4}\cos^{2}\theta\sin^{2}\theta.
  • 2yx^{3}=2(r\sin\theta)(r\cos\theta)^{3}=2r^{4}\sin\theta\cos^{3}\theta.
Somando:
\text{numerador}=r^{4}\bigl(\sin^{4}\theta + 3\cos^{2}\theta\sin^{2}\theta + 2\sin\theta\cos^{3}\theta\bigr).
Denominador =(y^{2}+x^{2})^{2}=(r^{2})^{2}=r^{4}.
Dividindo, para r\neq 0,
\frac{y^{4}+3x^{2}y^{2}+2yx^{3}}{(y^{2}+x^{2})^{2}} =\sin^{4}\theta + 3\cos^{2}\theta\sin^{2}\theta + 2\sin\theta\cos^{3}\theta.
A expressão resultante depende apenas de \theta. Logo diferentes ângulos (caminhos) podem dar valores distintos.
Escolhemos dois ângulos simples:
  • Para \theta=0 (reta y=0): \sin0=0,\\ \cos0=1, então o valor é 0+0+0=0.
  • Para \theta=\pi/2 (reta x=0): \sin(\pi/2)=1,\\ \cos(\pi/2)=0, então o valor é 1+0+0=1.
Valores diferentes ( 0 e 1) → limite não existe.

Passo 10

(i) Vamos mostrar que \displaystyle \lim_{\substack{x\to 1\\\ y\to 0}} \frac{(x-1)^{2}y}{(x-1)^{4}+y^{2}} não existe.
Primeiro, simplifico a notação definindo u=x-1 e v=y. Então o problema vira verificar o limite em (u,v)\to(0,0) de
\frac{u^{2}v}{u^{4}+v^{2}}.
Estratégia clássica: escolher curvas do tipo v=ku^{2} (parabólicas) porque fazem o termo u^{4} na soma ter a mesma ordem que v^{2}: se v=ku^{2} então v^{2}=k^{2}u^{4}.
Substituindo v=ku^{2} (com u\neq 0):
\frac{u^{2}(ku^{2})}{u^{4}+(ku^{2})^{2}}=\frac{ku^{4}}{u^{4}+k^{2}u^{4}}=\frac{k}{1+k^{2}}.
Esse valor é independente de u e depende de k. Portanto diferentes valores de k produzem diferentes limites ao aproximar (u,v)\to(0,0) por essas parábolas.
Exemplos:
  • Para k=0 (linha y=0) obtemos 0.
  • Para k=1 (curva y=(x-1)^{2}) obtemos \dfrac{1}{2}.
Como os valores variam com k, o limite não existe em (x,y)\to(1,0).

Resposta

a) Não existe.
b) Não existe.
c) Não existe.
d) Não existe.
e) Não existe.
f) Não existe.
g) Não existe.
h) Não existe.
i) Não existe.

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