derive as funcates:
f(t)=tg(e^t)+e^tg t

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para derivar a função f(t)=tan(e^t)+e^tan t. O conteúdo que vamos usar aqui é a regra da cadeia, mais as derivadas básicas de tan u e de e^u.

Passo 2

Vamos derivar a primeira parcela tan(e^t). Se a gente chamar u=e^t, pela regra da cadeia temos
ddttan(u)=sec^2(u)cdotdudt
Agora, como du/dt=ddte^t=e^t, vem
ddttan(e^t)=sec^2(e^t)cdot e^t

Passo 3

Agora derivamos a segunda parcela e^tan t. Chamando v=tan t, de novo pela regra da cadeia
ddte^v=e^vcdotdvdt
E como dv/dt=ddttan t=sec^2 t, resulta
ddte^tan t=e^tan tcdotsec^2 t

Passo 4

Basta somar as duas derivadas que encontramos. Assim, a derivada da função original é a soma da derivada de tan(e^t) com a de e^tan t.

Resposta

f'(t)=e^tsec^2l(e^tr)+e^tan tsec^2(t)

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