Usando a definição de limite, prove que:
(1) lim n infty n2 n-1=12,
(2) lim n infty sen(n^5+n)n=0,
(3) lim n infty 3 n^2+1n^2=3,
(4) lim n infty 52+3 n=0

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando a definição ε–N de limite de sequência, que cada uma das quatro sequências converge ao valor indicado. Vamos usar que: para todo ε>0 existe N∈ℕ tal que, se n≥N, então |a_n–L|<ε.

Passo 2

Para (1) considere a_n=\frac{n}{2n-1} e L=\tfrac12. Calculamos
|an-L|=|n2n-1-12|=12(2n-1)
Para n≥1 temos 2n−1≥n, logo
|an-L|<=12n
Dado ε>0, basta escolher N qualquer com N>1/(2ε). Então, se n≥N, teremos |a_n−L|≤1/(2n)<1/(2N)<ε. Assim, \lim_{n\to\infty}n/(2n-1)=1/2.

Passo 3

Para (2) considere a_n=\dfrac{\sin(n^5+n)}{n} e L=0. Como |\sin(θ)|≤1 para todo θ, temos
|an-L|=|sin(n^5+n)n|<=1n
Dado ε>0, escolha N>1/ε. Então para n≥N vale |a_n−0|≤1/n≤1/N<ε. Logo \lim_{n\to\infty}\sin(n^5+n)/n=0.

Passo 4

Para (3) considere a_n=\frac{3n2+1}{n2} e L=3. Escrevemos
|an-L|=|3n^2+1n^2-3|=1n^2
Dado ε>0, escolha N>1/\sqrt{ε}. Então para n≥N temos |a_n−3|=1/n2≤1/N2<ε. Logo \lim_{n\to\infty}(3n2+1)/n2=3.

Passo 5

Para (4) considere a_n=\frac{5}{2+3n} e L=0. Temos
|an-L|=52+3n<=53n
pois 2+3n≥3n. Dado ε>0, escolha N>5/(3ε). Então, para n≥N, vale |a_n−0|≤5/(3n)≤5/(3N)<ε. Assim \lim_{n\to\infty}5/(2+3n)=0.

Resposta

Os limites são (1) 1/2, (2) 0, (3) 3 e (4) 0.

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