Usando a definição de limite, prove que:
(1)
,
(2)
,
(3)
,
(4)
(1)
(2)
(3)
(4)
Passo 1
O enunciado pede para provar, usando a definição ε–N de limite de sequência, que cada uma das quatro sequências converge ao valor indicado. Vamos usar que: para todo ε>0 existe N∈ℕ tal que, se n≥N, então |a_n–L|<ε.
Passo 2
Para (1) considere a_n=\frac{n}{2n-1} e L=\tfrac12. Calculamos
Para n≥1 temos 2n−1≥n, logo
Dado ε>0, basta escolher N qualquer com N>1/(2ε). Então, se n≥N, teremos |a_n−L|≤1/(2n)<1/(2N)<ε. Assim, \lim_{n\to\infty}n/(2n-1)=1/2.
Passo 3
Para (2) considere a_n=\dfrac{\sin(n^5+n)}{n} e L=0. Como |\sin(θ)|≤1 para todo θ, temos
Dado ε>0, escolha N>1/ε. Então para n≥N vale |a_n−0|≤1/n≤1/N<ε. Logo \lim_{n\to\infty}\sin(n^5+n)/n=0.
Passo 4
Para (3) considere a_n=\frac{3n2+1}{n2} e L=3. Escrevemos
Dado ε>0, escolha N>1/\sqrt{ε}. Então para n≥N temos |a_n−3|=1/n2≤1/N2<ε. Logo \lim_{n\to\infty}(3n2+1)/n2=3.
Passo 5
Para (4) considere a_n=\frac{5}{2+3n} e L=0. Temos
pois 2+3n≥3n. Dado ε>0, escolha N>5/(3ε). Então, para n≥N, vale |a_n−0|≤5/(3n)≤5/(3N)<ε. Assim \lim_{n\to\infty}5/(2+3n)=0.
Resposta
Os limites são (1) 1/2, (2) 0, (3) 3 e (4) 0.