Para cada uma das funções a seguir determine se ela é admissível. Caso seja, use a definição para calcular sua transformada de Laplace:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a função $ f(x) = 1 $ é admissível para calcular a sua transformada de Laplace. Estamos trabalhando com transformadas de Laplace, que é uma ferramenta matemática usada para resolver equações diferenciais, entre outras coisas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser admissível e como calcular a transformada de Laplace usando a definição.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma função admissível. Na transformada de Laplace, uma função $ f(t) $ é dita admissível se ela é contínua para $ t \geq 0 $ e existe uma constante real positiva $ a $ tal que $ |f(t)| \leq Me^{at} $ para algum $ M > 0 $ e para todo $ t \geq 0 $. Isso basicamente significa que a função não cresce mais rápido que uma exponencial, o que garante que a transformada de Laplace vai existir.
Passo 3
Vamos verificar se $ f(x) = 1 $ satisfaz essas condições. A função constante $ f(x) = 1 $ é claramente contínua para todo $ x \geq 0 $. Além disso, podemos ver que $ |f(x)| = |1| = 1 $, que é menor ou igual a $ Me^{0 \cdot x} = M $, onde podemos escolher $ M = 1 $ e $ a = 0 $. Portanto, a função $ f(x) = 1 $ é admissível.
Passo 4
Agora que já sabemos que a função é admissível, vamos calcular a transformada de Laplace dela usando a definição. A definição da transformada de Laplace é:
No nosso caso, $ f(t) = 1 $, então substituindo na fórmula:
Passo 5
Vamos resolver a integral $ \int_{0}^{\infty} e^{-st} dt $. Essa é uma integral básica de uma função exponencial. A antiderivada de $ e^{-st} $ em relação a $ t $ é $ -\frac{1}{s} e^{-st} $. Então, aplicando os limites de integração:
Aqui, consideramos que quando $ t $ tende ao infinito, $ e^{-st} $ tende a zero, e quando $ t = 0 $, $ e^{-s \cdot 0} = 1 $.
Resposta
A função $ f(x) = 1 $ é admissível e sua transformada de Laplace é $ \mathcal{L}{1} = \frac{1}{s} $.