Use o Teorema de Gauss para calcular a integral de superfície integral duplaS F cdot d S, ou seja, calcule o fluxo de F através de S.
© F(x, y, z)=x y sen z i+cos (x z) j+y cos z k, S é o elipsoide x^2a^2+y^2b^2+z^2c^2=1.

Passo 1

O enunciado pede pra gente calcular o fluxo de F(x,y,z)=x y sin z,i+cos(xz),j+ycos z,k através do elipsoide S:x^2a^2+y^2b^2+z^2c^2=1, usando o Teorema de Gauss (Teorema da Divergência). Vamos precisar calcular a divergência de F e integrar esse resultado sobre o volume interno ao elipsoide.

Passo 2

Calcular a divergência de F:
A divergência é definida por
nablacdotF=partialpartial x(x y sin z)+partialpartial y(cos(xz))+partialpartial z(ycos z)
Agora cada termo:
partialpartial x(x y sin z)=ysin z,
partialpartial y(cos(xz))=0,
partialpartial z(ycos z)=yddz(cos z)=-ysin z
Somando,
nablacdotF=ysin z+0- ysin z=0

Passo 3

Como nablacdotF=0 em todo o volume, o Teorema de Gauss diz que o fluxo é
integral duplaSFcdot dS=integral triplaV(nablacdotF),dV=integral triplaV0,dV=0

Resposta

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