Use aproximação linear para estimar o número tg 46^circ.

Passo 1

O enunciado pede usar a aproximação linear para estimar tan 46^circ. Vamos considerar a função
f(x)=tan x,
onde x está em radianos, e aproximá-la em torno de um ponto a próximo de 46^circ cujo valor e derivada sejam simples de calcular.

Passo 2

Escolhemos a=45^circ, pois tan45^circ=1 e sua derivada é fácil de obter. Em radianos,
a = 45^circ = pi4

Passo 3

A derivada de f é
f'(x)=sec^2 x
Logo, em x=a,
f'l(tfracpi4r)=sec^2!l(tfracpi4r) =l(raiz2r)^2=2

Passo 4

O ponto que queremos é
x = 46^circ = 45^circ + 1^circ = pi4 + pi180
O incremento em radianos é
De<a x = x - a = pi180

Passo 5

Pela aproximação linear (fórmula de Taylor de 1º grau),
f(x)approx f(a) + f'(a),(x-a)
Substituindo,
tan 46^circ approx tan45^circ + sec^2!l(tfracpi4r),pi180 = 1 + 2cdotpi180 = 1 + pi90

Passo 6

Numericamente,
pi90approx 0,0349,
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tan 46^circ approx 1 + 0,0349 = 1,0349

Resposta

tan 46^circ approx 1,035 (pela aproximação linear).

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