Usando a definição para a transformada de Laplace, determinar Lf(t) para as funções abaixo:
f(t)=l0, 0 <= t= pi / 2

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de uma função definida por partes: f(t)=0 para 0≤t<π/2 e f(t)=cos t para t≥π/2. O conteúdo envolvido é a transformada de Laplace via definição integral e a propriedade de deslocamento (função degrau de Heaviside).

Passo 2

Reescrevemos f(t) usando a função degrau u(t–a):
A função vale zero até t=π/2 e depois vale cos t, ou seja,
f(t)=cos t·u(t–π/2).

Passo 3

Pela definição da transformada de Laplace temos
Lf(t)=integral0^inftyf(t)e^-st,dt =integral0^inftycos t,u(t-tfracpi2),e^-st,dt =integralpi/2^inftycos t,e^-st,dt

Passo 4

Para calcular integralpi/2^inftye^-stcos t,dt usamos uma mudança de variável: seja u=t-tfracpi2, então t=u+tfracpi2 e
$$\int_{\pi/2}{\infty}e{-st}\cos t,dt
=e{-s\frac{\pi}{2}}\int_{0}{\infty}e^{-su}\cos\Bigl(u+\tfrac{\pi}{2}\Bigr)du.$$
Como integralpi/2^inftye^-stcos t,dt =e^-spi2integral0^inftye^-sucosl(u+tfracpi2r)du, isso vira
$$e{-s\frac{\pi}{2}}\int_{0}{\infty}e^{-su}(-\sin u)du
=-e{-s\frac{\pi}{2}}\int_{0}{\infty}e^{-su}\sin u,du.$$

Passo 5

Sabemos que integral0^inftye^-susin u,du=1s^2+1. Logo
Lf(t) =-e^-pi s2cdot1s^2+1 =-e^-pi s2s^2+1

Resposta

-e^-tfracpi s2/(s^2+1)

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