Usando a definição para a transformada de Laplace, determinar
para as funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Laplace de uma função definida por partes: f(t)=0 para 0≤t<π/2 e f(t)=cos t para t≥π/2. O conteúdo envolvido é a transformada de Laplace via definição integral e a propriedade de deslocamento (função degrau de Heaviside).
Passo 2
Reescrevemos f(t) usando a função degrau u(t–a):
A função vale zero até t=π/2 e depois vale cos t, ou seja,
f(t)=cos t·u(t–π/2).
Passo 3
Pela definição da transformada de Laplace temos
Passo 4
Para calcular
usamos uma mudança de variável: seja
, então
e
$$\int_{\pi/2}{\infty}e{-st}\cos t,dt
=e{-s\frac{\pi}{2}}\int_{0}{\infty}e^{-su}\cos\Bigl(u+\tfrac{\pi}{2}\Bigr)du.$$
Como
, isso vira
$$e{-s\frac{\pi}{2}}\int_{0}{\infty}e^{-su}(-\sin u)du
=-e{-s\frac{\pi}{2}}\int_{0}{\infty}e^{-su}\sin u,du.$$
Passo 5
Sabemos que
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