As funções abaixo definem campos vetoriais sobre R^2. Determinar e fazer os gráficos das curvas onde |f| é constante.
f=2 i+x j

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as curvas de nível do módulo do campo vetorial vec f(x,y)=2,vec i + x,vec j, ou seja, os conjuntos em R^2 onde |vec f| é constante. Vamos usar definições de magnitude de vetor e nível de função.

Passo 2

Para todo (x,y), o módulo do vetor vec f(x,y) é dado por |vec f|=raiz(2)^2+(x)^2. Aplicando a fórmula do módulo de um vetor em R^2 temos:
|vec f(x,y)|=raiz4 + x^2

Passo 3

Chamando a constante de nível de |vec f| de c, impomos
raiz4 + x^2 = c
Elevando ao quadrado, obtemos:
x^2 = c^2 - 4

Passo 4

Para que x^2 seja não negativo, precisamos de c^2 - 4 >= 0, ou seja c>= 2. Assim, as curvas de nível são dadas por
x = +raizc^2 - 4
e
x = -raizc^2 - 4

Passo 5

Como não há restrição em y, cada valor de c>= 2 gera duas retas verticais em x=pmraizc^2-4. No caso especial c=2, as duas retas coincidem em x=0.
Para desenhar, basta traçar linhas verticais em x=pmraizc^2-4 para cada constante c>= 2.

Resposta

As curvas onde |\vec f|=c são as retas verticais
x=+raizc^2-4e x=-raizc^2-4,
com c>=2, sem restrição em y.

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