Resolver o PVI
d yd x=y^2, y(0)=1
e determinar o maior intervalo no qual a solução existe.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) que é um problema inicial de valor (PVI). A equação é:
dydx = y^2, y(0) = 1
Aqui, a gente precisa usar técnicas de cálculo para resolver essa EDO e descobrir para quais valores de a solução existe.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis. Isso significa reorganizar a equação para que todos os termos com dyy^2 = dx fiquem de um lado e os termos com do outro. A equação fica:

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados. A integração nos ajuda a encontrar uma função integral 1y^2 , dy = -1y + C que satisfaz a equação diferencial. A integral de integral 1 , dx = x + C em relação a -1y = x + C é:
E a integral de em relação a é:
Então, temos:

Passo 4

Vamos resolver para 1y = -x - C . Primeiro, multiplicamos os dois lados por y = 1-x - C :
y = 1-x + C
Agora, invertemos os dois lados para isolar :
Podemos reescrever como outra constante , mas para simplificar, mantemos :

Passo 5

Agora, usamos a condição inicial 1 = 1-0 + C Rightarrow C = 1 para encontrar o valor de y = 11 - x . Substituindo e :
Então, a solução particular é:

Passo 6

Por fim, vamos determinar o maior intervalo onde essa solução existe. A função tem uma descontinuidade quando o denominador é zero, ou seja, quando . Portanto, a solução é válida para todos os menores que 1.

Resposta

A solução do PVI é:
y(x) = 11 - x
E o maior intervalo onde essa solução existe é:
x < 1

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