Resolver o PVI
e determinar o maior intervalo no qual a solução existe.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) que é um problema inicial de valor (PVI). A equação é:
Aqui, a gente precisa usar técnicas de cálculo para resolver essa EDO e descobrir para quais valores de
a solução existe.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis. Isso significa reorganizar a equação para que todos os termos com
fiquem de um lado e os termos com
do outro. A equação fica:
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados. A integração nos ajuda a encontrar uma função
que satisfaz a equação diferencial. A integral de
em relação a
é:
E a integral de
em relação a
é:
Então, temos:
Passo 4
Vamos resolver para
. Primeiro, multiplicamos os dois lados por
:
Agora, invertemos os dois lados para isolar
:
Podemos reescrever
como outra constante
, mas para simplificar, mantemos
:
Passo 5
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar o valor de
. Substituindo
e
:
Então, a solução particular é:
Passo 6
Por fim, vamos determinar o maior intervalo onde essa solução existe. A função
tem uma descontinuidade quando o denominador é zero, ou seja, quando
. Portanto, a solução é válida para todos os
menores que 1.
Resposta
A solução do PVI é:
E o maior intervalo onde essa solução existe é: