A altura de um objeto é dada por
a) Determine a velocidade instantânea no instante
.
b) Em que instante a velocidade será zero?
b) Em que instante a velocidade será zero?
Passo 1
O enunciado dá a altura do objeto como função do tempo:
E pede duas coisas:
(a) Determinar a velocidade instantânea no instante .
(b) Determinar em que instante a velocidade será zero.
(a) Determinar a velocidade instantânea no instante
(b) Determinar em que instante a velocidade será zero.
Informações relevantes dadas:
- A função
fornece a altura em função do tempo . - Precisamos obter a velocidade instantânea, ou seja, a taxa de variação de
em relação a (a derivada de ).
Passo 2
O que é velocidade instantânea e como calculá-la (aula rápida, sem pânico).
- Velocidade instantânea é a derivada da posição (ou altura) em relação ao tempo. Simplesmente: velocidade
. - Definição pela razão de diferença (diferença quociente): para qualquer função
,
Aqui
é um pequeno incremento de tempo; essa fórmula mede a razão de variação média e, ao fazer
, obtém a taxa de variação instantânea.
Vou usar essa definição e mostrar cada passo da simplificação (assim você aprende a fazer na prova). Depois mostro também a versão rápida (regra do poder) para ganhar tempo na prova.
Vou usar essa definição e mostrar cada passo da simplificação (assim você aprende a fazer na prova). Depois mostro também a versão rápida (regra do poder) para ganhar tempo na prova.
Passo 3
Calcular
usando a definição (passo a passo algébrico). Primeiro compute
:
Expandindo o quadrado e distribuindo:
Agora a diferença
. Lembrando que
:
Os termos
e
cancelam, sobrando:
Dividindo por
:
Agora aplicamos o limite
:
Portanto a velocidade como função do tempo é
Passo 4
Avaliar a velocidade no instante
(resposta da letra a). Substituir
em
:
Interpretação rápida: a velocidade instantânea no instante
vale
(unidades de altura por unidade de tempo; por exemplo, se
está em metros e
em segundos, então
m/s).
Passo 5
Determinar quando a velocidade será zero (resposta da letra b). Resolver a equação
:
Isolando
:
Interpretação: a velocidade se anula em
; esse instante costuma corresponder ao ponto mais alto da trajetória (vértice), onde a altura atinge máximo.
Passo 6
Atalho útil para provas (confirmação): regra do poder (derivada rápida). Para checar mais rápido, use que a derivada de
é
. Aplicando a cada termo:
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
Somando:, mesma resposta. Isso economiza tempo na prova.
Resposta
(a)
(b)
(b)