A altura de um objeto é dada por
h(t)=20 t-5 t^{2}
a) Determine a velocidade instantânea no instante t=1.
b) Em que instante a velocidade será zero?

Passo 1

O enunciado dá a altura do objeto como função do tempo:
h(t)=20 t-5 t^{2}
E pede duas coisas:
(a) Determinar a velocidade instantânea no instante t=1.
(b) Determinar em que instante a velocidade será zero.
Informações relevantes dadas:
  • A função h(t) fornece a altura em função do tempo t.
  • Precisamos obter a velocidade instantânea, ou seja, a taxa de variação de h em relação a t (a derivada de h).

Passo 2

O que é velocidade instantânea e como calculá-la (aula rápida, sem pânico).
  • Velocidade instantânea é a derivada da posição (ou altura) em relação ao tempo. Simplesmente: velocidade v(t)=h'(t).
  • Definição pela razão de diferença (diferença quociente): para qualquer função h,
h'(t)=\lim_{\Delta t\to0}\frac{h(t+\Delta t)-h(t)}{\Delta t}.
Aqui \Delta t é um pequeno incremento de tempo; essa fórmula mede a razão de variação média e, ao fazer \Delta t\to0, obtém a taxa de variação instantânea.
Vou usar essa definição e mostrar cada passo da simplificação (assim você aprende a fazer na prova). Depois mostro também a versão rápida (regra do poder) para ganhar tempo na prova.

Passo 3

Calcular h'(t) usando a definição (passo a passo algébrico). Primeiro compute h(t+\Delta t):
h(t+\Delta t)=20(t+\Delta t)-5(t+\Delta t)^{2}.
Expandindo o quadrado e distribuindo:
h(t+\Delta t)=20t+20\Delta t-5\bigl(t^{2}+2t\Delta t+(\Delta t)^{2}\bigr).
h(t+\Delta t)=20t+20\Delta t-5t^{2}-10t\Delta t-5(\Delta t)^{2}.
Agora a diferença h(t+\Delta t)-h(t). Lembrando que h(t)=20t-5t^{2}:
h(t+\Delta t)-h(t)=\bigl(20t+20\Delta t-5t^{2}-10t\Delta t-5(\Delta t)^{2}\bigr)-(20t-5t^{2}).
Os termos 20t e -5t^{2} cancelam, sobrando:
h(t+\Delta t)-h(t)=20\Delta t-10t\Delta t-5(\Delta t)^{2}.
Dividindo por \Delta t:
\frac{h(t+\Delta t)-h(t)}{\Delta t}=20-10t-5\Delta t.
Agora aplicamos o limite \Delta t\to0:
h'(t)=\lim_{\Delta t\to0}\bigl(20-10t-5\Delta t\bigr)=20-10t.
Portanto a velocidade como função do tempo é
v(t)=h'(t)=20-10t.

Passo 4

Avaliar a velocidade no instante t=1 (resposta da letra a). Substituir t=1 em v(t):
v(1)=20-10\cdot 1=20-10=10.
Interpretação rápida: a velocidade instantânea no instante t=1 vale 10 (unidades de altura por unidade de tempo; por exemplo, se h está em metros e t em segundos, então 10 m/s).

Passo 5

Determinar quando a velocidade será zero (resposta da letra b). Resolver a equação v(t)=0:
20-10t=0.
Isolando t:
10t=20\quad\Rightarrow\quad t=2.
Interpretação: a velocidade se anula em t=2; esse instante costuma corresponder ao ponto mais alto da trajetória (vértice), onde a altura atinge máximo.

Passo 6

Atalho útil para provas (confirmação): regra do poder (derivada rápida). Para checar mais rápido, use que a derivada de a t^{n} é a n t^{n-1}. Aplicando a cada termo:
  • Derivada de 20t é 20.
  • Derivada de -5t^{2} é -5\cdot 2 t^{1}=-10t.
    Somando: v(t)=20-10t, mesma resposta. Isso economiza tempo na prova.

Resposta

(a) v(1)=10
(b) t=2

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