Usando derivação, integração, desvio \boldsymbol{s} ou a convolução (e mostrand os detalhes do que fizer), encontre f(t) se \mathscr{L}(f) for igual a:
\ln \frac{s}{s-1}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar f(t) tal que a transformada de Laplace de f seja
\mathscr{L}\{f\}(s)=\ln\frac{s}{s-1}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A expressão é \ln\frac{s}{s-1}.
  • Para a expressão fazer sentido como transformada de Laplace, temos que trabalhar em valores de s com parte real suficientemente grande; concretamente, a região de convergência será \Re(s)>1.
  • A tarefa é recuperar f(t) (função no tempo) cujo Laplace é a expressão dada.

Passo 2

Vamos usar uma propriedade útil que liga derivação em s com multiplicação por t no tempo. Primeiro calculemos a derivada da função dada em s. Diferenciando \ln\frac{s}{s-1} obtemos:
\frac{d}{ds}\left(\ln\frac{s}{s-1}\right) =\frac{d}{ds}\big(\ln s-\ln(s-1)\big) =\frac{1}{s}-\frac{1}{s-1}.
Simplificando a diferença:
\frac{1}{s}-\frac{1}{s-1}=\frac{(s-1)-s}{s(s-1)}=\frac{-1}{s(s-1)}.

Passo 3

Agora a propriedade que vamos usar e explicar: se F(s)=\mathscr{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt, então podemos diferenciar sob o integral (sob hipóteses de regularidade que valem aqui) e obter
\frac{d}{ds}F(s)=\frac{d}{ds}\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt =\int_{0}^{\infty}\frac{\partial}{\partial s}\big(e^{-st}\big)f(t)\,dt =\int_{0}^{\infty}(-t)e^{-st}f(t)\,dt =-\mathscr{L}\{t f(t)\}(s).
Ou seja, regra prática: \dfrac{d}{ds}\mathscr{L}\{f\}(s)=-\mathscr{L}\{t f(t)\}(s). (Essa é uma fórmula muito útil para inverter transformadas que envolvem logaritmos ou funções racionais.)

Passo 4

Aplicando essa propriedade ao nosso caso, com F(s)=\ln\frac{s}{s-1}, temos
-\mathscr{L}\{t f(t)\}(s)=\frac{d}{ds}\left(\ln\frac{s}{s-1}\right)=\frac{-1}{s(s-1)}.
Multiplicando por -1 obtemos
\mathscr{L}\{t f(t)\}(s)=\frac{1}{s(s-1)}.

Passo 5

Invertendo essa transformada exige decompor em frações parciais. Faça
\frac{1}{s(s-1)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s-1}.
Multiplicando por s(s-1) obtemos 1=A(s-1)+Bs. Tomando s=0 1=-A então A=-1. Tomando s=1 1=B então B=1. Assim
\frac{1}{s(s-1)}=-\frac{1}{s}+\frac{1}{s-1}.
Agora usamos transformadas inversas conhecidas: \mathscr{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s}\}=1 e \mathscr{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s-1}\}=e^{t}. Portanto
t f(t) = -1 + e^{t}=e^{t}-1.

Passo 6

Finalmente dividimos por t (para t>0) e obtemos
f(t)=\frac{e^{t}-1}{t},\qquad t>0.
Para conferir rapidamente: ao calcular \mathscr{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}\dfrac{e^{t}-1}{t}\,dt=\int_{0}^{\infty}\dfrac{e^{-(s-1)t}-e^{-st}}{t}\,dt e usar a identidade \displaystyle\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-\alpha t}-e^{-\beta t}}{t}\,dt=\ln\frac{\beta}{\alpha} (para \Re\alpha,\Re\beta>0), obtém-se \ln\frac{s}{s-1}, confirmando que a inversa está correta.

Resposta

\displaystyle f(t)=\frac{e^{t}-1}{t},\\ t>0

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