Usando derivação, integração, desvio
ou a convolução (e mostrand os detalhes do que fizer), encontre
se
for igual a:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar
tal que a transformada de Laplace de
seja
Informações dadas e observações imediatas:
- A expressão é
. - Para a expressão fazer sentido como transformada de Laplace, temos que trabalhar em valores de
com parte real suficientemente grande; concretamente, a região de convergência será . - A tarefa é recuperar
(função no tempo) cujo Laplace é a expressão dada.
Passo 2
Vamos usar uma propriedade útil que liga derivação em
com multiplicação por
no tempo. Primeiro calculemos a derivada da função dada em
. Diferenciando
obtemos:
Simplificando a diferença:
Passo 3
Agora a propriedade que vamos usar e explicar: se
, então podemos diferenciar sob o integral (sob hipóteses de regularidade que valem aqui) e obter
Ou seja, regra prática:
. (Essa é uma fórmula muito útil para inverter transformadas que envolvem logaritmos ou funções racionais.)
Passo 4
Aplicando essa propriedade ao nosso caso, com
, temos
Multiplicando por
obtemos
Passo 5
Invertendo essa transformada exige decompor em frações parciais. Faça
Multiplicando por
obtemos
. Tomando
dá
então
. Tomando
dá
então
. Assim
Agora usamos transformadas inversas conhecidas:
e
. Portanto
Passo 6
Finalmente dividimos por
(para
) e obtemos
Para conferir rapidamente: ao calcular
e usar a identidade
(para
), obtém-se
, confirmando que a inversa está correta.