Usando derivação, integração, desvio
ou a convolução (e mostrand os detalhes do que fizer), encontre
se
for igual a:
Passo 1
O enunciado dá a transformada de Laplace
onde
é a variável complexa da transformada e
são constantes (assumimos
e
fixos e tais que as integrais abaixo façam sentido). A tarefa é encontrar a função
(definida para
) cuja transformada de Laplace é exatamente essa expressão.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
O que se pede: determinar
, explicitando passos e justificativas.
Passo 2
Observação útil (identidade de parâmetro): para
fixo e variando o parâmetro
,
Pelo teorema fundamental do cálculo, para
e
fixos vale
Isto é, representamos a função dada como uma integral em
envolvendo a função
. Esta representação é muito útil porque sabemos a transformada inversa de
.
Passo 3
Recordando uma fórmula básica da transformada de Laplace: para constante
com
,
Portanto a função
é a transformada de Laplace de
. Usando linearidade da transformada inversa e a representação do Passo 2, podemos inverter a integral parâtrica:
Pelo fato de que a inversa é linear e (sob hipóteses de troca de ordem justificáveis por convergência) podemos passar a inversa para dentro da integral:
Passo 4
Agora calculamos explicitamente a integral em
:
Trate
como constante na integração em
. Uma primitiva de
em
é
(porque
). Avaliando de
até
:
Passo 5
Verificação alternativa (útil para a prova): calcular diretamente
e ver que dá
. Usando troca de ordem de integração (Fubini) e a linearidade,
Reescrevendo sem a divisão redundante (já realizada no Passo 4) e trocando ordem:
confirmando a inversa encontrada. (Aqui usamos que
para garantir convergência das integrais.)
Passo 6
Interpretação final e observações práticas:
- A função
está bem definida para e tem a forma . - Em
há uma singularidade removível: usando expansão nota-se que quando , então o comportamento é regular na maioria dos contextos (pode-se definir por continuidade em se desejado). - Região de convergência em
: geralmente .