Usando derivação, integração, desvio \boldsymbol{s} ou a convolução (e mostrand os detalhes do que fizer), encontre f(t) se \mathscr{L}(f) for igual a:
\frac{2}{(s-k)^{3}}

Passo 1

O enunciado dá a transformada de Laplace de uma função f e pede para encontrar f(t). Especificamente, temos:
\mathscr{L}\{f\}(s)=\frac{2}{(s-k)^{3}}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A transformada de Laplace de f é \dfrac{2}{(s-k)^{3}}.
  • k é um parâmetro (constante) real. Normalmente a região de convergência exige s>k.
  • A tarefa é determinar explicitamente a função f(t) (a antitransformada).

Passo 2

Vamos lembrar (e provar rapidamente) duas propriedades úteis das transformadas de Laplace que usaremos em seguida.
Propriedade A — transformada de uma exponencial deslocada:
\mathscr{L}\{e^{kt}\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}e^{kt}\,dt=\int_{0}^{\infty}e^{-(s-k)t}\,dt=\frac{1}{s-k},
válido para \Re(s)> \Re(k). Aqui s é a variável da transformada e k é a constante do expoente.
Propriedade B — derivação em s e multiplicação por t:
Se F(s)=\mathscr{L}\{g\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}g(t)\,dt, então podemos diferenciar sob o sinal integral (hipóteses de regularidade atendidas) para obter
\frac{d}{ds}F(s)=\frac{d}{ds}\int_0^\infty e^{-st}g(t)\,dt=\int_0^\infty \frac{d}{ds}\big(e^{-st}\big)g(t)\,dt=\int_0^\infty(-t)e^{-st}g(t)\,dt=-\mathscr{L}\{t\,g(t)\}(s).
Logo, de forma geral, por repetição,
\mathscr{L}\{t^{n}g(t)\}(s)=(-1)^{n}\frac{d^{n}}{ds^{n}}F(s).
Essa propriedade é muito poderosa para criar potências de (s-\text{constante}) no denominador.

Passo 3

Aplicando as propriedades ao nosso caso: escolha g(t)=e^{kt}. Pela Propriedade A temos
F(s)=\mathscr{L}\{e^{kt}\}(s)=\frac{1}{s-k}.
Agora usamos a Propriedade B com n=2 (ou seja, multiplicar por t^{2} corresponde a derivar duas vezes em s com sinal (-1)^2=+1):
\mathscr{L}\{t^{2}e^{kt}\}(s)=\frac{d^{2}}{ds^{2}}\left(\frac{1}{s-k}\right).

Passo 4

Calculemos as derivadas explícitas de \dfrac{1}{s-k}:
Primeira derivada:
\frac{d}{ds}\left(\frac{1}{s-k}\right)=-\frac{1}{(s-k)^{2}}.
Segunda derivada:
\frac{d^{2}}{ds^{2}}\left(\frac{1}{s-k}\right)=\frac{d}{ds}\left(-\frac{1}{(s-k)^{2}}\right)= -\left(-2\right)\frac{1}{(s-k)^{3}}=\frac{2}{(s-k)^{3}}.
Portanto
\mathscr{L}\{t^{2}e^{kt}\}(s)=\frac{2}{(s-k)^{3}}.

Passo 5

Comparando com o enunciado, vemos que a transformada dada coincide com a transformada de \,t^{2}e^{kt}. Logo a antitransformada procurada é
f(t)=t^{2}e^{kt}.
(Fazendo uma verificação rápida: aplicar a transformada de Laplace em t^{2}e^{kt} conforme fizemos resulta exatamente em \dfrac{2}{(s-k)^{3}}.)

Resposta

f(t)=t^{2}e^{kt}

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