Usando derivação, integração, desvio
ou a convolução (e mostrand os detalhes do que fizer), encontre
se
for igual a:
Passo 1
O enunciado dá a transformada de Laplace de uma função
e pede para encontrar
. Especificamente, temos:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A transformada de Laplace de
é . -
é um parâmetro (constante) real. Normalmente a região de convergência exige . - A tarefa é determinar explicitamente a função
(a antitransformada).
Passo 2
Vamos lembrar (e provar rapidamente) duas propriedades úteis das transformadas de Laplace que usaremos em seguida.
Propriedade A — transformada de uma exponencial deslocada:
válido para
. Aqui
é a variável da transformada e
é a constante do expoente.
Propriedade B — derivação em
e multiplicação por
:
Se , então podemos diferenciar sob o sinal integral (hipóteses de regularidade atendidas) para obter
Se
Logo, de forma geral, por repetição,
Essa propriedade é muito poderosa para criar potências de
no denominador.
Passo 3
Aplicando as propriedades ao nosso caso: escolha
. Pela Propriedade A temos
Agora usamos a Propriedade B com
(ou seja, multiplicar por
corresponde a derivar duas vezes em
com sinal
):
Passo 4
Calculemos as derivadas explícitas de
:
Primeira derivada:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Portanto
Passo 5
Comparando com o enunciado, vemos que a transformada dada coincide com a transformada de
. Logo a antitransformada procurada é
(Fazendo uma verificação rápida: aplicar a transformada de Laplace em
conforme fizemos resulta exatamente em
.)