Usando derivação e integração termo a termo, determine as expansões em séries de potências em torno de x_{0}=0 das seguintes funções e os valores de x para os quais essas expansões são válidas: x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\cdots+(-1)^{n-1} \frac{x^{n}}{n}+\cdots
seja identificada como uma expansão em série de potências em torno de \,x_{0}=0, e que sejam determinados os valores de x para os quais essa expansão é válida (ou seja, o intervalo/raio de convergência e o comportamento nos extremos).
Informações dadas: a série é \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{x^{n}}{n}.
Perguntas explícitas: qual função essa série representa (em torno de 0) e para quais x essa representação vale.
Passo 2
Vamos primeiro determinar o raio de convergência da série usando o teste da razão. Isso nos diz para quais valores de x a soma infinita faz sentido. Seja o termo geral
a_{n}=(-1)^{n-1}\frac{x^{n}}{n}.
Aplicamos o teste da razão, que pede avaliar o limite
Pelo teste da razão, a série converge quando esse limite é menor que 1, ou seja, quando |x|<1. Portanto o raio de convergência é 1. Conclusão parcial: a série converge (pelo menos) para |x|<1.
Passo 3
Agora vamos descobrir qual função essa série representa em |x|<1. Uma estratégia poderosa: derivar termo a termo (válido dentro do raio de convergência) e reconhecer a série resultante como uma série geométrica conhecida. Começamos diferenciando a série termo a termo. Se
Aqui cada termo \dfrac{d}{dx}\big((-1)^{n-1}\dfrac{x^{n}}{n}\big)=(-1)^{n-1}x^{n-1} (exercício simples de derivada de potência). Observação didática: derivação termo a termo é permitida dentro do raio de convergência e a nova série tem o mesmo raio.
Passo 4
A série que obtemos para f'(x) é uma série geométrica deslocada. Reescrevendo:
f'(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{n},
onde troquei o índice n\mapsto n-1 para começar em n=0. Essa série é a série geométrica padrão com termo inicial 1 e razão -x. Lembrando a fórmula da soma de uma série geométrica:
Portanto, dentro do intervalo |x|<1, a derivada da função representada pela série é f'(x)=\dfrac{1}{1+x}.
Passo 5
Se f'(x)=\dfrac{1}{1+x} para |x|<1, então podemos recuperar f(x) integrando:
f(x)=\int f'(x)\,dx=\int\frac{1}{1+x}\,dx.
A integral de \dfrac{1}{1+x} é a função logarítmica natural (lembrando que estamos integrando com respeito a x):
\int\frac{1}{1+x}\,dx=\ln(1+x)+C,
onde C é constante de integração. Logo
f(x)=\ln(1+x)+C\quad\text{para }|x|<1.
Passo 6
Precisamos determinar a constante C. Para isso usamos um ponto simples: x=0 pertence ao intervalo |x|<1, e podemos avaliar a série em x=0. Do lado da série,
porque todos os termos com 0^{n} são zero. Do lado da expressão \ln(1+x)+C, em x=0 obtemos \ln(1+0)+C=C. Igualando:
f(0)=0=\ln(1+0)+C=C,
logo C=0. Portanto, para |x|<1,
f(x)=\ln(1+x).
Passo 7
Resumo parcial: a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{x^{n}}{n}
representa a função \ln(1+x) para |x|<1. Agora vamos checar o comportamento nos extremos do intervalo de convergência (os pontos x=1 e x=-1), porque o raio 1 só garante |x|<1 — os extremos precisam de verificação individual.
que é a famosa série alternada dos recíprocos. Pelo teste da série alternada (criterio de Leibniz) — que diz que se os termos em módulo são decrescentes para n grande e tendem a zero, então a série alternada converge — essa série converge. O valor da soma é conhecido (ou pode ser obtido usando o que fizemos limitando x\to1^{-} em \ln(1+x)): a soma vale \ln 2. Assim, a série converge condicionalmente em x=1 e representa \ln(1+1)=\ln 2.
Isso é (menos) a série harmônica, que diverge. Portanto, em x=-1 a série diverge e não representa \ln(1-1)=\ln 0 (que também não é finito).
Passo 10
Conclusões finais (resumindo o que aprendemos e o porquê): a série tem raio de convergência 1, representa a derivada 1/(1+x) ao derivarmos termo a termo, e integrando recuperamos \ln(1+x) (constante fixada pelo valor em 0). Nos extremos, converge condicionalmente em x=1 com soma \ln 2, e diverge em x=-1. Essas afirmações seguem do teste da razão, do teorema que permite derivar/integrar séries de potências termo a termo dentro do raio de convergência, e dos testes de convergência pontuais nos extremos.