Usando derivação e integração termo a termo, determine as expansões em séries de potências em torno de x_{0}=0 das seguintes funções e os valores de x para os quais essas expansões são válidas:
1+2 x+3 x^{2}+\cdots+(n+1) x^{n}+\cdots

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de potências em torno de x_{0}=0 da sequência
1+2x+3x^{2}+\cdots+(n+1)x^{n}+\cdots
ou seja, identificar uma função f(x) cuja expansão em série de potências seja
\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)x^{n}.
Também pede os valores de x para os quais essa expansão é válida (o intervalo/raio de convergência). As informações dadas são exatamente os coeficientes (n+1) do termo x^{n} para n=0,1,2,\dots.

Passo 2

Vamos recordar uma série muito conhecida que é útil aqui: a série geométrica. Para |x|<1 vale
\sum_{n=0}^{\infty} x^{n} = \frac{1}{1-x}.
Explico rápido por que isso é verdade: a soma parcial S_{N}=\sum_{n=0}^{N}x^{n} é uma progressão geométrica cujo valor fechado é S_{N}=\dfrac{1-x^{N+1}}{1-x}. Se |x|<1 então x^{N+1}\to0 quando N\to\infty, logo S_{N}\to\dfrac{1}{1-x}. Isso nos dá uma identidade válida para todo x com |x|<1.

Passo 3

Queremos obter \sum_{n=0}^{\infty}(n+1)x^{n}. Uma forma direta é usar diferenciação termo a termo da série geométrica (isso é permitido porque a série geométrica converge uniformemente em qualquer intervalo fechado contido em \{x:|x|<1\}, o que garante que podemos derivar termo a termo dentro desse raio). Uma técnica prática: considere a série
\sum_{n=0}^{\infty} x^{n+1} = x\sum_{n=0}^{\infty} x^{n} = \frac{x}{1-x},
válida para |x|<1. Diferenciando ambos os lados com respeito a x (derivação termo a termo é válida aqui), obtemos no lado esquerdo a série
\frac{d}{dx}\left(\sum_{n=0}^{\infty} x^{n+1}\right)=\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)x^{n},
que é exatamente a série que queremos.

Passo 4

Agora derivamos o lado direito. Diferenciando \dfrac{x}{1-x} com respeito a x usamos a regra do quociente ou escrevemos \dfrac{x}{1-x}=x(1-x)^{-1} e aplicamos a regra do produto e da cadeia. Faço direto:
\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{1-x}\right) = \frac{(1-x)\cdot 1 - x\cdot(-1)}{(1-x)^{2}} = \frac{1-x + x}{(1-x)^{2}} = \frac{1}{(1-x)^{2}}.
Portanto, para |x|<1 temos
\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)x^{n} = \frac{1}{(1-x)^{2}}.

Passo 5

Vou explicar o porquê da condição |x|<1 com calma: a igualdade sai de operações (multiplicação por x, diferenciação) feitas numa série que originalmente converge apenas para |x|<1. A série geométrica só converge para |x|<1; as operações de multiplicar por x e derivar termo a termo são válidas enquanto estivermos estritamente dentro desse raio, porque a série converge uniformemente em qualquer intervalo fechado [-r,r] com r<1. Logo a expressão fechada \dfrac{1}{(1-x)^{2}} representa a soma da série somente para |x|<1.

Passo 6

Verificação nos extremos: em x=1 a série \sum_{n=0}^{\infty}(n+1)\cdot 1^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1) diverge (os termos não tendem a zero). Em x=-1 a série \sum_{n=0}^{\infty}(n+1)(-1)^{n} também não converge porque os termos (n+1)(-1)^{n} não tendem a zero. Portanto não há extensão da soma nos pontos x=\pm1. Conclusão: a soma é válida apenas para |x|<1.

Passo 7

Resumo didático rápido do procedimento que você pode usar numa prova: comece da série geométrica \sum x^{n}=1/(1-x); se precisar de fatores polinomiais em n como n ou n+1, use diferenciação termo a termo (ou multiplicação por x para ajustar o índice) — mas lembre-se de verificar o raio de convergência (a operação é válida dentro do disco de convergência, tipicamente |x|<1 neste tipo de série).

Resposta

\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}(n+1)x^{n}=\frac{1}{(1-x)^{2}}\n
Válida para |x|<1.

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