Usando derivação e integração termo a termo, determine as expansões em séries de potências em torno de
das seguintes funções e os valores de
para os quais essas expansões são válidas:
Passo 1
O enunciado pede a expansão em série de potências em torno de
da sequência
ou seja, identificar uma função
cuja expansão em série de potências seja
Também pede os valores de
para os quais essa expansão é válida (o intervalo/raio de convergência). As informações dadas são exatamente os coeficientes
do termo
para
.
Passo 2
Vamos recordar uma série muito conhecida que é útil aqui: a série geométrica. Para
vale
Explico rápido por que isso é verdade: a soma parcial
é uma progressão geométrica cujo valor fechado é
. Se
então
quando
, logo
. Isso nos dá uma identidade válida para todo
com
.
Passo 3
Queremos obter
. Uma forma direta é usar diferenciação termo a termo da série geométrica (isso é permitido porque a série geométrica converge uniformemente em qualquer intervalo fechado contido em
, o que garante que podemos derivar termo a termo dentro desse raio). Uma técnica prática: considere a série
válida para
. Diferenciando ambos os lados com respeito a
(derivação termo a termo é válida aqui), obtemos no lado esquerdo a série
que é exatamente a série que queremos.
Passo 4
Agora derivamos o lado direito. Diferenciando
com respeito a
usamos a regra do quociente ou escrevemos
e aplicamos a regra do produto e da cadeia. Faço direto:
Portanto, para
temos
Passo 5
Vou explicar o porquê da condição
com calma: a igualdade sai de operações (multiplicação por
, diferenciação) feitas numa série que originalmente converge apenas para
. A série geométrica só converge para
; as operações de multiplicar por
e derivar termo a termo são válidas enquanto estivermos estritamente dentro desse raio, porque a série converge uniformemente em qualquer intervalo fechado
com
. Logo a expressão fechada
representa a soma da série somente para
.
Passo 6
Verificação nos extremos: em
a série
diverge (os termos não tendem a zero). Em
a série
também não converge porque os termos
não tendem a zero. Portanto não há extensão da soma nos pontos
. Conclusão: a soma é válida apenas para
.
Passo 7
Resumo didático rápido do procedimento que você pode usar numa prova: comece da série geométrica
; se precisar de fatores polinomiais em
como
ou
, use diferenciação termo a termo (ou multiplicação por
para ajustar o índice) — mas lembre-se de verificar o raio de convergência (a operação é válida dentro do disco de convergência, tipicamente
neste tipo de série).
Resposta
Válida para