Use o método das séries de potências para mostrar que
Sugestão: Use que
Passo 1
Resumo do enunciado: vamos calcular a Transformada de Laplace de
usando séries de potência. Precisamos da expansão em série de
e da fórmula
, além da expressão para
.
Passo 2
Expandimos
na série de Taylor de
em torno de zero, com
:
Passo 3
Aplicamos a Transformada de Laplace termo a termo. Para cada
, temos
, então
Passo 4
Substituindo na série:
Usamos a sugestão
para simplificar cada termo.
Passo 5
Cada termo vira
Logo
Passo 6
Reconhecemos a série de
com
. Assim,
Substituindo de volta, obtemos o resultado pedido.