Use o método das séries de potências para mostrar que
Lsen raizt=raizpi e^-1 / 4 s2 s^3 / 2
Sugestão: Use que
Gamma(n+32)=(2 n+1)!n!2^2 n+1 raizpi

Passo 1

Resumo do enunciado: vamos calcular a Transformada de Laplace de sinraizt usando séries de potência. Precisamos da expansão em série de sin x e da fórmula Lt^alpha=Gamma(alpha+1)/s^alpha+1, além da expressão para Gamma(n+3/2).

Passo 2

Expandimos sinraizt na série de Taylor de sin x em torno de zero, com x=raizt:
sin(raizt)=sumn=0^infty(-1)^n(raizt)^2n+1(2n+1)!=sumn=0^infty(-1)^nt^n+1/2(2n+1)!

Passo 3

Aplicamos a Transformada de Laplace termo a termo. Para cada n, temos alpha=n+1/2, então
Lt^n+1/2=Gamma(n+3/2)s^n+3/2

Passo 4

Substituindo na série:
Lsinraizt=sumn=0^infty(-1)^n1(2n+1)!Gamma(n+3/2)s^n+3/2
Usamos a sugestão
Gammal(n+tfrac32r)=(2n+1)!n!2^2n+1raizpi
para simplificar cada termo.

Passo 5

Cada termo vira
(-1)^n1(2n+1)!(2n+1)!n!2^2n+1raizpi1s^n+3/2 =raizpi2s^3/2(-1)^nn!l(14sr)^n
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Lsinraizt=raizpi2s^3/2sumn=0^infty(-1)^nn!l(14sr)^n

Passo 6

Reconhecemos a série de e^x=sumn=0^infty x^n/n! com x=-1/(4s). Assim,
sumn=0^infty(-1)^nn!l(14sr)^n=e^-1/(4s)
Substituindo de volta, obtemos o resultado pedido.

Resposta

Lsinraizt=raizpie^-1/(4s)2s^3/2

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