Responda Verdadeiro ou Falso, justificando a resposta.
Se lim x a f(x)=0 e lim x a g(x)=0 então não existe lim x a(f(x)g(x))

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos perguntando. A questão diz que se o limite de quando se aproxima de é 0 e o limite de quando se aproxima de também é 0, então o limite de quando se aproxima de não existe. Estamos trabalhando com Limites, especificamente com limites envolvendo funções que se aproximam de zero.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que quando calculamos o limite de uma fração , se tanto quanto se aproximam de zero, estamos diante de uma forma indeterminada do tipo . Isso significa que o limite pode existir ou não, dependendo de como as funções e se comportam perto de .

Passo 3

Para decidir se o limite de existe ou não, podemos usar a Regra de L’Hôpital, que nos ajuda a resolver limites do tipo ou . Segundo a regra, se derivarmos e e o limite de existir, então o limite original também existe e é igual a esse valor.

Passo 4

Contudo, existem casos onde mesmo aplicando a Regra de L’Hôpital, o limite de pode não existir. Ou seja, às vezes, o limite existe, mas em outras situações, ele não existe. Portanto, dizer que sempre não existe é incorreto.

Resposta

Falso. Mesmo que e , o limite de pode existir dependendo do comportamento das funções e próximas a .

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