A pergunta é: esse conjunto é linearmente independente (L.I.) ou linearmente dependente (L.D.)?
Passo 2
Vamos organizar claramente os vetores em uma matriz para poder aplicar um critério prático. \n
Regra útil (explicada passo a passo depois): se temos três vetores em \mathbb{R}^3, podemos colocá‑los como colunas de uma matriz 3\times3. Se o determinante dessa matriz for diferente de zero, então os vetores são linearmente independentes; se o determinante for zero, são linearmente dependentes. \n
Nesta etapa não calculamos nada ainda — só estamos preparando os dados.
Passo 3
Formamos a matriz A colocando v_1,v_2,v_3 como colunas, ou seja:
onde a primeira coluna é v_1, a segunda coluna é v_2 e a terceira coluna é v_3.]
Passo 4
Explicando o porquê do critério do determinante (mini‑aula rápida e intuitiva): \n
Para n vetores em \mathbb{R}^n, colocamos os vetores como colunas de uma matriz n\times n. \n
O determinante dessa matriz mede (em valor absoluto) o “volume” do paralelogramo/paralelepípedo formado pelas colunas. \n
Se esse volume for zero, as colunas estão contidas em um subespaço de dimensão menor (há dependência linear); se o volume for não‑zero, as colunas ocupam todo \mathbb{R}^n e são linearmente independentes. \n
Agora vamos calcular o determinante de A. Vou usar a fórmula do determinante de uma matriz 3\times3:
Agora fazemos as contas passo a passo (sem pular): \n
Calcule o primeiro termo interno:
0\cdot1-(-1)\cdot1=0-(-1)=1.
O segundo termo é multiplicado por a_{12}=0, então dá zero. \n
Calcule o terceiro termo interno:
1\cdot1-0\cdot1=1-0=1.
Portanto:
\det(A)=1\cdot1-0\cdot(\cdots)+1\cdot1=1+1=2.
Passo 7
Interpretação do resultado e conclusão didática: \n
Encontramos \det(A)=2. Como esse valor é diferente de zero (2\neq0), o volume do paralelepípedo gerado pelos vetores é não nulo, o que implica que as colunas da matriz (ou seja, os vetores v_1,v_2,v_3) são linearmente independentes. \n
Dica prática para prova: sempre que tiver exatamente n vetores em \mathbb{R}^n, montar a matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante é a maneira mais direta de testar independência linear. Se o determinante der diferente de zero, pare aí e escreva “L.I.” — é a condição necessária e suficiente.
Resposta
O conjunto é linearmente independente, pois \det(A)=2\neq0.