Usando determinantes, verifique quais dos conjuntos de vetores abaixo são L.I.:
\left.\left\{(1,1,1)^{t},(0,0,1)^{t},(1,-1,1)^{t}\right)\right\};

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto de vetores
\left\{(1,1,1)^{t},\;(0,0,1)^{t},\;(1,-1,1)^{t}\right\}
é linearmente independente ou dependente. \n
Informações dadas:
v_1=(1,1,1)^{t},\qquad v_2=(0,0,1)^{t},\qquad v_3=(1,-1,1)^{t}.
A pergunta é: esse conjunto é linearmente independente (L.I.) ou linearmente dependente (L.D.)?

Passo 2

Vamos organizar claramente os vetores em uma matriz para poder aplicar um critério prático. \n
Regra útil (explicada passo a passo depois): se temos três vetores em \mathbb{R}^3, podemos colocá‑los como colunas de uma matriz 3\times3. Se o determinante dessa matriz for diferente de zero, então os vetores são linearmente independentes; se o determinante for zero, são linearmente dependentes. \n
Nesta etapa não calculamos nada ainda — só estamos preparando os dados.

Passo 3

Formamos a matriz A colocando v_1,v_2,v_3 como colunas, ou seja:
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\[4pt] 1 & 0 & -1\\[4pt] 1 & 1 & 1 \end{pmatrix},
onde a primeira coluna é v_1, a segunda coluna é v_2 e a terceira coluna é v_3.]

Passo 4

Explicando o porquê do critério do determinante (mini‑aula rápida e intuitiva): \n
  • Para n vetores em \mathbb{R}^n, colocamos os vetores como colunas de uma matriz n\times n. \n
  • O determinante dessa matriz mede (em valor absoluto) o “volume” do paralelogramo/paralelepípedo formado pelas colunas. \n
  • Se esse volume for zero, as colunas estão contidas em um subespaço de dimensão menor (há dependência linear); se o volume for não‑zero, as colunas ocupam todo \mathbb{R}^n e são linearmente independentes. \n
    Agora vamos calcular o determinante de A. Vou usar a fórmula do determinante de uma matriz 3\times3:
\det(A)=a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})-a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}),
onde a_{ij} é o elemento da linha i e coluna j de A.

Passo 5

Aplicando a fórmula ao nosso A: \n
Identificando os elementos:
a_{11}=1,\; a_{12}=0,\; a_{13}=1,
a_{21}=1,\; a_{22}=0,\; a_{23}=-1,
a_{31}=1,\; a_{32}=1,\; a_{33}=1.
Substituindo na fórmula:
\det(A)=1\big(0\cdot1-(-1)\cdot1\big)-0\big(1\cdot1-(-1)\cdot1\big)+1\big(1\cdot1-0\cdot1\big).

Passo 6

Agora fazemos as contas passo a passo (sem pular): \n
Calcule o primeiro termo interno:
0\cdot1-(-1)\cdot1=0-(-1)=1.
O segundo termo é multiplicado por a_{12}=0, então dá zero. \n
Calcule o terceiro termo interno:
1\cdot1-0\cdot1=1-0=1.
Portanto:
\det(A)=1\cdot1-0\cdot(\cdots)+1\cdot1=1+1=2.

Passo 7

Interpretação do resultado e conclusão didática: \n
Encontramos \det(A)=2. Como esse valor é diferente de zero ( 2\neq0), o volume do paralelepípedo gerado pelos vetores é não nulo, o que implica que as colunas da matriz (ou seja, os vetores v_1,v_2,v_3) são linearmente independentes. \n
Dica prática para prova: sempre que tiver exatamente n vetores em \mathbb{R}^n, montar a matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante é a maneira mais direta de testar independência linear. Se o determinante der diferente de zero, pare aí e escreva “L.I.” — é a condição necessária e suficiente.

Resposta

O conjunto é linearmente independente, pois \det(A)=2\neq0.

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