Usando determinantes, verifique quais dos conjuntos de vetores abaixo são L.I.:
\left\{(1,1,1)^{t},(0,1,-1)^{t},(1,3,-2)^{t}\right\}.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto de três vetores em \mathbb{R}^3:
v_1=(1,1,1)^t,\qquad v_2=(0,1,-1)^t,\qquad v_3=(1,3,-2)^t.
A pergunta é: verificar, usando determinantes, se esse conjunto de vetores é linearmente independente (L.I.) ou linearmente dependente (L.D.).
As informações relevantes são exatamente os três vetores acima; não há mais dados.

Passo 2

Vou usar a ideia-chave que liga determinantes e independência linear em \mathbb{R}^3. Explico de modo simples e direto:
Seja A a matriz 3\times3 cujas colunas são os vetores v_1,v_2,v_3. Então:
\text{os vetores }v_1,v_2,v_3\text{ são linearmente independentes}ã
se, e somente se,
\det(A)\neq 0.
Intuição curta: o determinante mede (com sinal) o volume do paralelepípedo gerado pelas colunas; se o volume é zero, as colunas estão num plano (ou numa reta) e são dependentes; se o volume é não nulo, elas geram todo \mathbb{R}^3 e são independentes.

Passo 3

Formo a matriz A colocando v_1,v_2,v_3 como colunas:
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 3\\[4pt] 1 & -1 & -2 \end{pmatrix}.
Aqui a primeira coluna é v_1, a segunda é v_2 e a terceira é v_3.]

Passo 4

Agora calculo o determinante de A. Uso a fórmula do determinante de 3\times3:
\det(A)=a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})-a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}).
No nosso caso a_{11}=1, a_{12}=0, a_{13}=1, a_{21}=1, a_{22}=1, a_{23}=3, a_{31}=1, a_{32}=-1, a_{33}=-2. Substituo passo a passo:
Calculo do primeiro menor:
a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}=1\cdot(-2)-3\cdot(-1)=-2+3=1.
Calculo do segundo termo (multiplicado por a_{12}=0, então dará zero; mostro por completude):
a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}=1\cdot(-2)-3\cdot1=-2-3=-5,
mas este produto será multiplicado por a_{12}=0.
Calculo do terceiro menor:
a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}=1\cdot(-1)-1\cdot1=-1-1=-2.
Agora monto o determinante:
\det(A)=1\cdot 1 - 0\cdot(-5) + 1\cdot(-2)=1+0-2=-1.

Passo 5

Cheguei a \det(A)=-1. Como \det(A)\neq 0, pela propriedade explicada no Passo 2 os vetores v_1,v_2,v_3 são linearmente independentes. Parabéns — isso significa que nenhuma combinação linear não trivial dos três dá o vetor nulo.

Resposta

Os vetores são linearmente independentes.

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