V ou F:
( ) Dois vetores em
são sempre L.D…
( ) Dois vetores em
são sempre L.I…
( ) Três vetores em
são sempre L.D…
( ) Dois vetores em
( ) Dois vetores em
( ) Três vetores em
Passo 1
O enunciado pede que eu identifique se cada uma das três afirmações abaixo é verdadeira (V) ou falsa (F):
(1) Dois vetores em
são sempre L.D.
(2) Dois vetores em são sempre L.I.
(3) Três vetores em são sempre L.D.
(2) Dois vetores em
(3) Três vetores em
Informações dadas: cada afirmação fala sobre linearidade (dependência/independência) de conjuntos de vetores em espaços
ou
. Não há figura nem dados numéricos adicionais.
Passo 2
Definição essencial (explicada devagar): um conjunto de vetores
é chamado de linearmente dependente (L.D.) se existem escalares
, nem todos nulos, tais que
Se a única forma de obter a soma igual a
é tomando todos os escalares iguais a zero (
), então os vetores são linearmente independentes (L.I.).
Comentário prático: para provar que um conjunto é L.D. eu preciso exibir uma combinação não trivial (alguma
diferente de zero) que zere a soma. Para provar que é L.I. eu preciso mostrar que qualquer combinação que zere a soma implica todos os coeficientes iguais a zero (às vezes feito mostrando que um determinante é diferente de zero, quando aplicável).
Passo 3
Conceito de dimensão (intuição útil): um espaço vetorial
tem dimensão
. Isso significa que não existe conjunto de mais de
vetores linearmente independentes em
. Em particular, qualquer conjunto com mais de
vetores em
é automaticamente L.D. (isso é uma ferramenta poderosa para provas rápidas).
Passo 4
Análise da afirmação (1): “Dois vetores em
são sempre L.D.”
Argumento direto em
(passo a passo):
- Em
um vetor é apenas um número, escrevemos dois vetores como e , com . - Quero encontrar escalares
, nem ambos zero, tais que
- Uma escolha que sempre funciona é
e . Substituindo,
- Como
e não são ambos zero (a menos que , caso em que qualquer escolha não trivial também funciona), isso mostra que sempre existe combinação não trivial que zera a soma. - Alternativa pelo conceito de dimensão:
tem dimensão , logo qualquer conjunto com mais de vetor (aqui 2 vetores) é L.D.
Exemplo numérico para fixar: tome
e
. Então escolha
,
e temos
. Pronto: L.D.
Conclusão parcial: a afirmação (1) é verdadeira.
Passo 5
Dica para a prova: sempre que o espaço for
(ou seja
), qualquer conjunto com dois ou mais vetores será L.D. — memorize isso; é rápido e evita cálculos.
Passo 6
Análise da afirmação (2): “Dois vetores em
são sempre L.I.”
Observação inicial: não podemos aceitar essa afirmação sem teste, porque em
dois vetores podem ser independentes ou dependentes — depende se são colineares (um múltiplo do outro) ou não.
Critério prático (fácil de aplicar em prova):
- Dois vetores
e em são L.D. exatamente quando existe tal que (ou seja, são colineares). Caso contrário são L.I. - Outra forma: formar a matriz
com colunas e calcular o determinante. Se então são L.I.; se então são L.D.
Contraexemplo que prova a afirmação falsa:
- Tome
e . Note que , logo são colineares. Posso exibir combinação não trivial:
Aqui os coeficientes
e
não são ambos zero, então
e
são L.D.
- Portanto a afirmação “são sempre L.I.” é falsa (basta um contraexemplo).
Também dou um exemplo positivo para contraste:
e
são L.I. porque a única solução de
é
. Isso mostra que tanto L.I. quanto L.D. são possíveis em
.
Conclusão parcial: a afirmação (2) é falsa.
Passo 7
Dica prática para a prova sobre dois vetores em
:
- Verifique se um é múltiplo do outro (compare razões das componentes, cuidado com zeros).
- Ou calcule o determinante
Se o determinante for diferente de zero, os vetores são L.I.; se for zero, são L.D.
Passo 8
Análise da afirmação (3): “Três vetores em [\mathbb{R}^{2}) são sempre L.D.”
Uso do argumento de dimensão (mais direto e seguro):
-
tem dimensão . Não existe um conjunto de mais de vetores que seja linearmente independente. - Logo qualquer conjunto com
vetores em necessariamente é linearmente dependente.
Argumento via sistema (explicando a mesma ideia com equações):
- Seja
, , . Procuramos , nem todos zero, tais que
Escrevendo componentes obtemos o sistema linear de duas equações:
Esse é um sistema com
incógnitas; sempre existe uma solução não trivial (pelo princípio de que variáveis livres aparecem quando o número de incógnitas excede o número de equações), portanto os coeficientes não precisam ser todos zero — mostra dependência linear.
Exemplo numérico:
. Observe que
logo são L.D.
Conclusão parcial: a afirmação (3) é verdadeira.]
Passo 9
Resumo e interpretação curta (para fixar no caderno):
- Em
(dimensão ) qualquer par de vetores é L.D. — sempre Verdadeiro. - Em
dois vetores podem ser L.I. ou L.D.; portanto a afirmação de que “são sempre L.I.” é Falsa. - Em
qualquer conjunto com vetores é obrigatoriamente L.D. — Verdadeiro.
Força aí — essas regras de dimensão e o teste do determinante vão salvar tempo na prova!
Resposta
V
F
V
F
V