V ou F:
( ) Dois vetores em \mathbb{R} são sempre L.D…
( ) Dois vetores em \mathbb{R}^{2} são sempre L.I…
( ) Três vetores em \mathbb{R}^{2} são sempre L.D…

Passo 1

O enunciado pede que eu identifique se cada uma das três afirmações abaixo é verdadeira (V) ou falsa (F):
(1) Dois vetores em \mathbb{R} são sempre L.D.
(2) Dois vetores em \mathbb{R}^{2} são sempre L.I.
(3) Três vetores em \mathbb{R}^{2} são sempre L.D.
Informações dadas: cada afirmação fala sobre linearidade (dependência/independência) de conjuntos de vetores em espaços \mathbb{R} ou \mathbb{R}^2. Não há figura nem dados numéricos adicionais.

Passo 2

Definição essencial (explicada devagar): um conjunto de vetores \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\dots,\mathbf{v}_k\} é chamado de linearmente dependente (L.D.) se existem escalares \alpha_1,\dots,\alpha_k, nem todos nulos, tais que
\alpha_1\mathbf{v}_1+\alpha_2\mathbf{v}_2+\cdots+\alpha_k\mathbf{v}_k=\mathbf{0}.
Se a única forma de obter a soma igual a \mathbf{0} é tomando todos os escalares iguais a zero ( \alpha_1=\cdots=\alpha_k=0), então os vetores são linearmente independentes (L.I.).
Comentário prático: para provar que um conjunto é L.D. eu preciso exibir uma combinação não trivial (alguma \alpha_i diferente de zero) que zere a soma. Para provar que é L.I. eu preciso mostrar que qualquer combinação que zere a soma implica todos os coeficientes iguais a zero (às vezes feito mostrando que um determinante é diferente de zero, quando aplicável).

Passo 3

Conceito de dimensão (intuição útil): um espaço vetorial \mathbb{R}^n tem dimensão n. Isso significa que não existe conjunto de mais de n vetores linearmente independentes em \mathbb{R}^n. Em particular, qualquer conjunto com mais de n vetores em \mathbb{R}^n é automaticamente L.D. (isso é uma ferramenta poderosa para provas rápidas).

Passo 4

Análise da afirmação (1): “Dois vetores em \mathbb{R} são sempre L.D.”
Argumento direto em \mathbb{R} (passo a passo):
  • Em \mathbb{R} um vetor é apenas um número, escrevemos dois vetores como \mathbf{v}_1=a e \mathbf{v}_2=b, com a,b\in\mathbb{R}.
  • Quero encontrar escalares \alpha,\beta, nem ambos zero, tais que
\alpha a + \beta b = 0.
  • Uma escolha que sempre funciona é \alpha=b e \beta=-a. Substituindo,
b\cdot a + (-a)\cdot b = ab-ab = 0.
  • Como \alpha e \beta não são ambos zero (a menos que a=b=0, caso em que qualquer escolha não trivial também funciona), isso mostra que sempre existe combinação não trivial que zera a soma.
  • Alternativa pelo conceito de dimensão: \mathbb{R} tem dimensão 1, logo qualquer conjunto com mais de 1 vetor (aqui 2 vetores) é L.D.
Exemplo numérico para fixar: tome \mathbf{v}_1=2 e \mathbf{v}_2=3. Então escolha \alpha=3, \beta=-2 e temos 3\cdot2 + (-2)\cdot3 = 6-6=0. Pronto: L.D.
Conclusão parcial: a afirmação (1) é verdadeira.

Passo 5

Dica para a prova: sempre que o espaço for \mathbb{R}^1 (ou seja \mathbb{R}), qualquer conjunto com dois ou mais vetores será L.D. — memorize isso; é rápido e evita cálculos.

Passo 6

Análise da afirmação (2): “Dois vetores em \mathbb{R}^{2} são sempre L.I.”
Observação inicial: não podemos aceitar essa afirmação sem teste, porque em \mathbb{R}^2 dois vetores podem ser independentes ou dependentes — depende se são colineares (um múltiplo do outro) ou não.
Critério prático (fácil de aplicar em prova):
  • Dois vetores \mathbf{u}=(u_1,u_2) e \mathbf{v}=(v_1,v_2) em \mathbb{R}^2 são L.D. exatamente quando existe \lambda tal que \mathbf{v}=\lambda\mathbf{u} (ou seja, são colineares). Caso contrário são L.I.
  • Outra forma: formar a matriz 2\times2 com colunas \mathbf{u},\mathbf{v} e calcular o determinante. Se \det\neq 0 então são L.I.; se \det=0 então são L.D.
Contraexemplo que prova a afirmação falsa:
  • Tome \mathbf{u}=(1,2) e \mathbf{v}=(2,4). Note que \mathbf{v}=2\mathbf{u}, logo são colineares. Posso exibir combinação não trivial:
2\cdot(1,2) + (-1)\cdot(2,4) = (2-2,4-4)=(0,0).
Aqui os coeficientes 2 e -1 não são ambos zero, então \mathbf{u} e \mathbf{v} são L.D.
  • Portanto a afirmação “são sempre L.I.” é falsa (basta um contraexemplo).
Também dou um exemplo positivo para contraste: \mathbf{e}_1=(1,0) e \mathbf{e}_2=(0,1) são L.I. porque a única solução de \alpha(1,0)+\beta(0,1)=(0,0) é \alpha=\beta=0. Isso mostra que tanto L.I. quanto L.D. são possíveis em \mathbb{R}^2.
Conclusão parcial: a afirmação (2) é falsa.

Passo 7

Dica prática para a prova sobre dois vetores em \mathbb{R}^2:
  • Verifique se um é múltiplo do outro (compare razões das componentes, cuidado com zeros).
  • Ou calcule o determinante
\det\begin{pmatrix} u_1 & v_1 \\\ u_2 & v_2 \end{pmatrix} = u_1v_2 - u_2v_1.
Se o determinante for diferente de zero, os vetores são L.I.; se for zero, são L.D.

Passo 8

Análise da afirmação (3): “Três vetores em [\mathbb{R}^{2}) são sempre L.D.”
Uso do argumento de dimensão (mais direto e seguro):
  • \mathbb{R}^2 tem dimensão 2. Não existe um conjunto de mais de 2 vetores que seja linearmente independente.
  • Logo qualquer conjunto com 3 vetores em \mathbb{R}^2 necessariamente é linearmente dependente.
Argumento via sistema (explicando a mesma ideia com equações):
  • Seja \mathbf{v}_1=(a_1,a_2), \mathbf{v}_2=(b_1,b_2), \mathbf{v}_3=(c_1,c_2). Procuramos \alpha,\beta,\gamma, nem todos zero, tais que
\alpha\mathbf{v}_1+\beta\mathbf{v}_2+\gamma\mathbf{v}_3=\mathbf{0}.
Escrevendo componentes obtemos o sistema linear de duas equações:
\begin{cases} \alpha a_1 + \beta b_1 + \gamma c_1 = 0,\\[4pt] \alpha a_2 + \beta b_2 + \gamma c_2 = 0. \end{cases}
Esse é um sistema com 2\] equações e \(3 incógnitas; sempre existe uma solução não trivial (pelo princípio de que variáveis livres aparecem quando o número de incógnitas excede o número de equações), portanto os coeficientes não precisam ser todos zero — mostra dependência linear.
Exemplo numérico: (1,0),(0,1),(1,1). Observe que
1\cdot(1,0) + 1\cdot(0,1) + (-1)\cdot(1,1) = (0,0),
logo são L.D.
Conclusão parcial: a afirmação (3) é verdadeira.]

Passo 9

Resumo e interpretação curta (para fixar no caderno):
  • Em \mathbb{R} (dimensão 1) qualquer par de vetores é L.D. — sempre Verdadeiro.
  • Em \mathbb{R}^2 dois vetores podem ser L.I. ou L.D.; portanto a afirmação de que “são sempre L.I.” é Falsa.
  • Em \mathbb{R}^2 qualquer conjunto com 3 vetores é obrigatoriamente L.D. — Verdadeiro.
Força aí — essas regras de dimensão e o teste do determinante vão salvar tempo na prova!

Resposta

V
F
V

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