Determine d yd x, se y=|x|^e^x^2.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = |x|^e^x^2
O conteúdo aqui é diferenciação de uma função na forma y = a(x)^b(x). Para resolver, vamos usar logaritmo para transformar a potência em produto e depois a regra da cadeia e do produto. Também usaremos que
ddxln|x| = 1x, xneq0

Passo 2

Aplicamos logaritmo natural em ambos os lados:
ln y = lnl(|x|^e^x^2r) = e^x^2,ln|x|

Passo 3

Agora derivamos ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo temos 1yy'. No direito, usamos a regra do produto em
u(x)=e^x^2, v(x)=ln|x|
Então
1yy' = u'(x),v(x) + u(x),v'(x) = l(e^x^2cdot2xr)ln|x| + e^x^2cdot1x

Passo 4

Isolando y' e lembrando que y=|x|^e^x^2, obtemos
y' = yl(2x,e^x^2ln|x| + e^x^2xr) = |x|^e^x^2;e^x^2l(2xln|x| + 1xr)

Resposta

dydx = |x|^e^x^2;e^x^2l(2xln|x| + 1xr)

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