Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital:
\lim _{x \rightarrow 0}(\ln (e+x)+x)^{1 / x}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to 0}\big(\ln(e+x)+x\big)^{1/x}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A expressão é uma potência cujo expoente é 1/x.
  • Quando x\to 0 o termo interno tende a \ln(e)+0=1, ou seja a base tende a 1.
  • Quando x\to 0 o expoente 1/x diverge (vai para +\infty se x\to0^+ e para -\infty se x\to0^-).
  • Portanto temos a indeterminação do tipo 1^{\infty}.

Passo 2

Estratégia para limites do tipo 1^{\infty}: tomar logaritmo natural para transformar a potência numa multiplicação, resolvendo primeiro o limite do logaritmo e depois exponenciar. Isto é permitido porque a base \ln(e+x)+x é positiva perto de x=0 (vale 1 em x=0), então o logaritmo está bem definido.
Definimos
y(x)=\big(\ln(e+x)+x\big)^{1/x}.
Tomando logaritmo natural:
\ln y(x)=\frac{1}{x}\ln\big(\ln(e+x)+x\big).

Passo 3

Analisamos o limite de \ln y(x). Quando x\to 0 temos \ln\big(\ln(e+x)+x\big)\to\ln(1)=0 e x\to 0, então a expressão
\frac{1}{x}\ln\big(\ln(e+x)+x\big)
é uma indeterminação do tipo 0/0. Nessa situação podemos aplicar a regra de L’Hospital: se \lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} é 0/0 (ou \infty/\infty) e f,g são diferenciáveis e g'(x)\neq0 perto de a, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
quando o limite do lado direito existe.
Aqui f(x)=\ln\big(\ln(e+x)+x\big) e g(x)=x.

Passo 4

Calculamos as derivadas para aplicar L’Hospital.
Derivada de g(x)=x é g'(x)=1.
Derivada de f(x)=\ln\big(\ln(e+x)+x\big):
  • Use a regra da cadeia: (\ln u)' = u'/u.
  • Aqui u(x)=\ln(e+x)+x.
  • Derivada de u é u'(x)=\dfrac{1}{e+x}+1 (porque \big(\ln(e+x)\big)'=1/(e+x) e (x)'=1).
Portanto
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{\dfrac{1}{e+x}+1}{\ln(e+x)+x}.
Aplicando L’Hospital,
\lim_{x\to 0}\ln y(x)=\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{g'(x)} =\lim_{x\to 0}\frac{\dfrac{1}{e+x}+1}{\ln(e+x)+x}.

Passo 5

Agora avaliamos o limite da expressão obtida. A função é contínua em x=0, então podemos substituir x=0:
Calcule o numerador em x=0:
\dfrac{1}{e+0}+1=\frac{1}{e}+1.
Calcule o denominador em x=0:
\ln(e+0)+0=\ln e=1.
Logo
\lim_{x\to 0}\ln y(x)=\frac{1+\dfrac{1}{e}}{1}=1+\frac{1}{e}.

Passo 6

Voltamos da transformação logarítmica: se \lim_{x\to 0}\ln y(x)=1+\dfrac{1}{e}, então
\lim_{x\to 0} y(x)=\exp\!\left(1+\frac{1}{e}\right).
Portanto o limite pedido é e^{1+1/e}.

Resposta

\displaystyle e^{1+\frac{1}{e}}

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