Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital:
Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A expressão é uma potência cujo expoente é
. - Quando
o termo interno tende a , ou seja a base tende a . - Quando
o expoente diverge (vai para se e para se ). - Portanto temos a indeterminação do tipo
.
Passo 2
Estratégia para limites do tipo
: tomar logaritmo natural para transformar a potência numa multiplicação, resolvendo primeiro o limite do logaritmo e depois exponenciar. Isto é permitido porque a base
é positiva perto de
(vale
em
), então o logaritmo está bem definido.
Definimos
Tomando logaritmo natural:
Passo 3
Analisamos o limite de
. Quando
temos
e
, então a expressão
é uma indeterminação do tipo
. Nessa situação podemos aplicar a regra de L’Hospital: se
é
(ou
) e
são diferenciáveis e
perto de
, então
quando o limite do lado direito existe.
Aqui
e
.
Passo 4
Calculamos as derivadas para aplicar L’Hospital.
Derivada de
é
.
Derivada de
:
- Use a regra da cadeia:
. - Aqui
. - Derivada de
é (porque e ).
Portanto
Aplicando L’Hospital,
Passo 5
Agora avaliamos o limite da expressão obtida. A função é contínua em
, então podemos substituir
:
Calcule o numerador em
:
Calcule o denominador em
:
Logo
Passo 6
Voltamos da transformação logarítmica: se
, então
Portanto o limite pedido é
.