Usando (1) ou (2), encontre mathscrL(f) se f(t) for igual a:
t sen 12 pi t

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de f(t)=t sen\bigl(\tfrac{\pi}{2}t\bigr). O conteúdo é transformada de Laplace e vamos usar a propriedade de diferenciação no domínio de s, além da transformada conhecida de senos.

Passo 2

Primeiro, lembramos que, para a constante a, temos ⟨\mathscr{L}[\sin(at)]⟩ dado por
mathscrL[sin(at)]=as^2+a^2
No nosso caso, a=\tfrac{\pi}{2}, logo
mathscrLl[sin(tfracpi2t)r]=tfracpi2s^2+l(tfracpi2r)^2

Passo 3

Em seguida aplicamos a propriedade de que
mathscrL[t,f(t)]=-ddsl(mathscrL[f(t)]r)
Logo,
mathscrL[tsin(tfracpi2t)]=-ddsl(tfracpi2s^2+l(tfracpi2r)^2r)

Passo 4

Derivando em relação a s:
-ddsl(tfracpi2s^2+l(tfracpi2r)^2r)=-tfracpi2cdotl(-1r)cdot2sl(s^2+tfracpi^24r)^2=pi sl(s^2+tfracpi^24r)^2

Resposta

mathscrL[tsin(tfracpi2t)]=pi sl(s^2+tfracpi^24r)^2

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