Usando a equação de Born-Landé, calcule a energia de rede do cloreto de césio.

Passo 1

O enunciado pede: “Usando a equação de Born-Landé, calcule a energia de rede do cloreto de césio.”
Informações que vamos usar (nenhuma figura foi enviada): valores físicos e parâmetros cristalográficos necessários (constantes universais, constante de Madelung para a estrutura CsCl, parâmetro de rede do CsCl ou somas de raios iônicos, e o expoente de Born). Não foi dado nenhum desses números no enunciado, então vou usar valores experimentais/aceitos em tabelas para CsCl e constantes fundamentais. Vou listar todos os valores que vou adotar e em seguida aplicar a fórmula.

Passo 2

Apresentando a equação de Born-Landé e explicando cada termo (aula curta):
A equação de Born-Landé para a energia de rede molar U é
U = -\,\dfrac{N_A\,M\,z^+ z^- e^2}{4\pi\varepsilon_0\,r_0}\left(1-\dfrac{1}{n}\right).
Explicação das variáveis:
  • U: energia de rede por mol (unidade: \mathrm{J\cdot mol^{-1}}). O sinal negativo indica que a formação do cristal é exotérmica (estável).
  • N_A: número de Avogadro, N_A=6,02214076\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}.
  • M: constante de Madelung (adimensional), depende da geometria do retículo. Para estrutura do tipo CsCl, M\approx1,762675.
  • z^+ e z^-: cargas dos íons em unidades da carga elementar e. Para CsCl, z^+=+1 e z^-=-1, então z^+ z^-=-1 (na fórmula usa-se o produto; o sinal negativo já aparece no numerador e combinando com o sinal inicial dá energia negativa). Em magnitude usamos |z^+ z^-|=1.
  • e: carga elementar, e=1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.
  • \varepsilon_0: permissividade do vácuo, \varepsilon_0=8,854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{C^2/(N\cdot m^2)}.
  • r_0: distância entre íons vizinhos mais próximos (m). Para CsCl, o íon no centro e no vértice têm distância r_0=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,a, onde a é o parâmetro da cela cúbica.
  • n: expoente de Born (adimensional), relacionado à repulsão de Pauli; para haletos alcalinos costuma-se adotar n entre 8 e 10. Vou adotar n=9 (valor frequentemente usado em exercícios e tabelas para haletos).

Passo 3

Escolha dos valores numéricos (justificando):
  • Usei a constante de Madelung da estrutura CsCl: M=1,762675 (valor de tabela).
  • Usei o parâmetro de rede experimental do CsCl: a=4,12\times10^{-10}\\ \mathrm{m} (isto é 4{,}12\\ \text{\AA}; valor típico experimental a temperatura ambiente). Com esse a obtemos r_0 conforme a relação geométrica indicada acima.
  • Adotei n=9 (valor usual em problemas para haletos alcalinos; produzirá uma estimativa muito próxima do valor experimental).
  • As constantes físicas adotadas já foram listadas no passo anterior.

Passo 4

Calcular r_0 (distância íon-vizinho):
r_0=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,a.
Substituindo a=4{,}12\times10^{-10}\\ \mathrm{m} e \dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx0{,}8660254:
r_0 = 0{,}8660254\times4{,}12\times10^{-10}\\ \mathrm{m} =3{,}570\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Calcular o numerador N_A\,M\,|z^+ z^-|\,e^2:
Primeiro e^2:
e^2=(1{,}602176634\times10^{-19})^2 =2{,}5669699\times10^{-38}\\ \mathrm{C^2}.
Multiplicando por N_A:
N_A e^2 = 6{,}02214076\times10^{23}\times2{,}5669699\times10^{-38} =1{,}5467065\times10^{-14}\\ \mathrm{C^2\cdot mol^{-1}}.
Agora multiplicando por M (e por |z^+ z^-|=1):
N_A M |z^+ z^-| e^2 = 1{,}5467065\times10^{-14}\times1{,}762675 =2{,}726008\times10^{-14}.
(Unidade: \mathrm{C^2\cdot mol^{-1}}.)

Passo 6

Calcular o denominador 4\pi\varepsilon_0\,r_0:
Primeiro 4\pi\varepsilon_0:
4\pi\varepsilon_0 = 4\pi\times8{,}854187817\times10^{-12} =1{,}11265006\times10^{-10}\\ \mathrm{C^2/(N\cdot m^2)}.
Multiplicando por r_0=3{,}570\times10^{-10}\\ \mathrm{m}:
4\pi\varepsilon_0\,r_0 = 1{,}11265006\times10^{-10}\times3{,}570\times10^{-10} =3{,}973045\times10^{-20}\\ \mathrm{C^2/(N\cdot m)}.
(Atenção às unidades: esse denominador tem dimensão que, combinada com o numerador em \mathrm{C^2\cdot mol^{-1}}, resulta em energia por mol em joules.)

Passo 7

Calcular a fração principal e aplicar o fator de Born:
A fração vale
\dfrac{N_A M |z^+ z^-| e^2}{4\pi\varepsilon_0 r_0} =\dfrac{2{,}726008\times10^{-14}}{3{,}973045\times10^{-20}} =6{,}8659\times10^{5}\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}}.
Aplicando o fator \left(1-\dfrac{1}{n}\right) com n=9:
1-\dfrac{1}{n}=1-\dfrac{1}{9}=\dfrac{8}{9}=0{,}888888\ldots
Portanto a energia de rede (com o sinal negativo da fórmula) é
U = -6{,}8659\times10^{5}\times0{,}888888\ldots =-6{,}0991\times10^{5}\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}}.

Passo 8

Interpretando o resultado e arredondamento final:
Em unidades mais usuais:
U \approx -6{,}10\times10^{5}\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}} = -610\\ \mathrm{kJ\cdot mol^{-1}}.
Observação importante (didática e prática): se algum dos parâmetros adotados (por exemplo a, M ou n) mudar ligeiramente, o valor numérico da energia de rede mudará um pouco. Valores tabelados experimentais para CsCl costumam dar energias de rede na faixa aproximada de -600 a -650\\ \mathrm{kJ\cdot mol^{-1}}, então nosso resultado está coerente.

Resposta

-6{,}10\times10^{5}\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}} = -610\\ \mathrm{kJ\cdot mol^{-1}}

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