Usando a equação E=R_{H}\left(\left(1 / 2^{2}\right)-\left(1 / \mathrm{n}^{2} \mathrm{~h}\right)\right. determine as energias e os comprimentos de onda das bandas de emissão visível no espectro atômico do hidrogênio decorrentes de \mathrm{n}_{\mathrm{h}}=4,5 e 6 . ( R_{H}=1,097 \times 10^{7} \mathrm{~m}^{-1}=2,179 \times 10^{-18} \mathrm{~J}=13,61 \mathrm{eV} ).

Passo 1

O enunciado pede para calcular as energias e os comprimentos de onda das linhas da série de Balmer (transições para n=2) do átomo de hidrogênio, para os níveis iniciais \mathrm{n}_{h}=4,5,6. Vamos usar a fórmula de Rydberg para energia de emissão e, a partir dela, obter o número de onda e o comprimento de onda.

Passo 2

A energia emitida na transição \mathrm{n}_{h}\to2 é dada por
E \;=\; R_{H} \Bigl(\tfrac{1}{2^{2}} \;-\;\tfrac{1}{\mathrm{n}_{h}^{2}}\Bigr)
onde podemos usar
  • R_{H}=2{,}179\times10^{-18}\,\mathrm{J} para obter E em joules,
  • R_{H}=13{,}61\,\mathrm{eV} para E em elétron-volts,
  • R_{H}=1{,}097\times10^{7}\,\mathrm{m}^{-1} para o número de onda
\bar{\nu} \;=\; \frac{1}{\lambda} \;=\; R_{H}\Bigl(\tfrac{1}{2^{2}}-\tfrac{1}{\mathrm{n}_{h}^{2}}\Bigr)
e, então,
\lambda \;=\;\frac{1}{\bar{\nu}} \;=\;\frac{1}{R_{H}\bigl(\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{\mathrm{n}_{h}^{2}}\bigr)}.

Passo 3

Para \mathrm{n}_{h}=4:
\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{16}=\tfrac{3}{16}=0{,}1875.
Energia em joules:
E_{4} = 2{,}179\times10^{-18}\times0{,}1875 = 4{,}09\times10^{-19}\,\mathrm{J}.
Energia em elétron-volts:
E_{4} = 13{,}61\times0{,}1875 = 2{,}55\,\mathrm{eV}.
Número de onda:
\bar{\nu}_{4}=1{,}097\times10^{7}\times0{,}1875=2{,}057\times10^{6}\,\mathrm{m}^{-1}.
Comprimento de onda:
\lambda_{4} = \frac{1}{2{,}057\times10^{6}} = 4,86\times10^{-7}\,\mathrm{m}=486\,\mathrm{nm}.

Passo 4

Para \mathrm{n}_{h}=5:
\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{25}=0{,}25-0{,}04=0{,}21.
E_{5}=2{,}179\times10^{-18}\times0{,}21=4{,}58\times10^{-19}\,\mathrm{J}, \quad E_{5}=13{,}61\times0{,}21=2{,}86\,\mathrm{eV}.
\bar{\nu}_{5}=1{,}097\times10^{7}\times0{,}21=2{,}304\times10^{6}\,\mathrm{m}^{-1}, \quad \lambda_{5}=\frac{1}{2{,}304\times10^{6}}=4,34\times10^{-7}\,\mathrm{m}=434\,\mathrm{nm}.

Passo 5

Para \mathrm{n}_{h}=6:
\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{36}=0{,}25-0{,}02778=0{,}22222.
E_{6}=2{,}179\times10^{-18}\times0{,}22222=4{,}84\times10^{-19}\,\mathrm{J}, \quad E_{6}=13{,}61\times0{,}22222=3{,}03\,\mathrm{eV}.
\bar{\nu}_{6}=1{,}097\times10^{7}\times0{,}22222=2{,}438\times10^{6}\,\mathrm{m}^{-1}, \quad \lambda_{6}=\frac{1}{2{,}438\times10^{6}}=4,10\times10^{-7}\,\mathrm{m}=410\,\mathrm{nm}.

Resposta

Para as linhas visíveis da série de Balmer do hidrogênio:
nₕ =4\to E =4,09\times 10^{-}^{1}^{9} J (2,55 eV), \lambda=486 nm
nₕ =5\to E =4,58\times 10^{-}^{1}^{9} J (2,86 eV), \lambda=434 nm
nₕ =6\to E =4,84\times 10^{-}^{1}^{9} J (3,03 eV), \lambda=410 nm

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