Usando as Equações de Cauchy-Riemann em coordenadas cartesianas, verifique que as seguintes funções não são analíticas em nenhum ponto:
g) f(z)=e^{y} \cdot(\cos x+i \operatorname{sen} x)

Passo 1

O enunciado pede para, usando as Equações de Cauchy–Riemann em coordenadas cartesianas, verificar que a função f não é analítica em nenhum ponto. A função dada é
f(z)=e^{y}\big(\cos x+i\sin x\big),
onde z=x+iy. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A variável complexa é z=x+iy.
  • A função está escrita em termos de x e y.
  • Vou precisar aplicar as Equações de Cauchy–Riemann a u(x,y) e v(x,y), as partes real e imaginária de f.

Passo 2

Breve aula sobre as Equações de Cauchy–Riemann (CR) em coordenadas cartesianas, sem pular etapas.
  • Se uma função f é escrita como
f(z)=u(x,y)+i\,v(x,y),
então u e v são funções reais de duas variáveis x e y.
  • As Equações de Cauchy–Riemann dizem que, se f é diferenciável (holomorfa) num ponto e as derivadas parciais de u e v existem e são contínuas numa vizinhança do ponto, então obrigatoriamente
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} \quad\text{e}\quad \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}.
  • Essas equações são uma condição necessária (e, com continuidade das parciais, também suficiente localmente) para f ser analítica. Ou seja: se as parciais são contínuas e as equações não valem num ponto, f não é analítica naquele ponto.
  • Vou calcular explicitamente u,v e suas derivadas parciais, e testar as equações acima ponto a ponto.

Passo 3

Identificar u(x,y) e v(x,y) a partir de f.
  • A parte real u é
u(x,y)=e^{y}\cos x.
  • A parte imaginária v é
v(x,y)=e^{y}\sin x.
Agora calculo as derivadas parciais (vou mostrar cada derivada e explicar a regra usada).
  • Para \dfrac{\partial u}{\partial x}: tratar y como constante; derivada de \cos x é -\sin x, então
\frac{\partial u}{\partial x}=-e^{y}\sin x.
  • Para \dfrac{\partial u}{\partial y}: tratar x como constante; derivada de e^{y} é e^{y}, então
\frac{\partial u}{\partial y}=e^{y}\cos x.
  • Para \dfrac{\partial v}{\partial x}: tratar y como constante; derivada de \sin x é \cos x, então
\frac{\partial v}{\partial x}=e^{y}\cos x.
  • Para \dfrac{\partial v}{\partial y}: tratar x como constante; derivada de e^{y} é e^{y}, então
\frac{\partial v}{\partial y}=e^{y}\sin x.
Observação: todas essas derivadas parciais existem e são funções contínuas em todo \mathbb{R}^2, pois são combinações de exponencial, seno e cosseno.

Passo 4

Aplicar as Equações de Cauchy–Riemann substituindo as derivadas encontradas.
  • Primeira equação \dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{\partial v}{\partial y}. Substituindo:
- e^{y}\sin x \stackrel{?}{=} e^{y}\sin x.
Isolando termos (dividindo por e^{y}, que nunca é zero), obtemos
- \sin x = \sin x \quad\Longrightarrow\quad 2\sin x = 0 \quad\Longrightarrow\quad \sin x = 0.
Logo a primeira equação exige \sin x = 0.
  • Segunda equação \dfrac{\partial u}{\partial y}=-\dfrac{\partial v}{\partial x}. Substituindo:
e^{y}\cos x \stackrel{?}{=} - e^{y}\cos x.
Dividindo por e^{y},
\cos x = -\cos x \quad\Longrightarrow\quad 2\cos x = 0 \quad\Longrightarrow\quad \cos x = 0.
Logo a segunda equação exige \cos x = 0.

Passo 5

Concluir a partir das duas condições obtidas.
  • Para satisfazer simultaneamente as duas Equações de Cauchy–Riemann, seria necessário ter ao mesmo tempo \sin x = 0 e \cos x = 0.
  • Não existe x\in\mathbb{R} que satisfaça simultaneamente \sin x = 0 e \cos x = 0 (seno e cosseno não podem ser ambos zero ao mesmo tempo).
  • Portanto, as Equações de Cauchy–Riemann não são satisfeitas em nenhum ponto (x,y) do plano.
  • Como as derivadas parciais são contínuas, a condição das CR é também suficiente localmente: como elas não valem em nenhum ponto, segue que f não é diferenciável (não é holomorfa) em nenhum ponto — ou seja, não é analítica em nenhum ponto.

Passo 6

Comentário adicional (intuitivo e útil para a prova).
  • Observe que se reescrevermos f em termos de \bar z temos
f(z)=e^{y}e^{ix}=e^{i(x-iy)}=e^{i\bar z}.
  • A função g(w)=e^{i w} é holomorfa em w, mas aqui w=\bar z. Assim f(z)=g(\bar z) depende de \bar z, não de z holomorficamente. Funções que dependem apenas de \bar z não são (em geral) holomorfas a menos que sejam constantes. Isso é um outro argumento simples que confirma o que vimos com as CR.

Resposta

A função f(z)=e^{y}(\cos x+i\sin x) não é analítica em nenhum ponto do plano complexo.

Exercícios relacionados