Usando as Equações de Cauchy-Riemann em coordenadas cartesianas, verifique que as seguintes funções não são analíticas em nenhum ponto:
g)
g)
Passo 1
O enunciado pede para, usando as Equações de Cauchy–Riemann em coordenadas cartesianas, verificar que a função
não é analítica em nenhum ponto. A função dada é
onde
. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A variável complexa é
. - A função está escrita em termos de
e . - Vou precisar aplicar as Equações de Cauchy–Riemann a
e , as partes real e imaginária de .
Passo 2
Breve aula sobre as Equações de Cauchy–Riemann (CR) em coordenadas cartesianas, sem pular etapas.
- Se uma função
é escrita como
então
e
são funções reais de duas variáveis
e
.
- As Equações de Cauchy–Riemann dizem que, se
é diferenciável (holomorfa) num ponto e as derivadas parciais de e existem e são contínuas numa vizinhança do ponto, então obrigatoriamente
- Essas equações são uma condição necessária (e, com continuidade das parciais, também suficiente localmente) para
ser analítica. Ou seja: se as parciais são contínuas e as equações não valem num ponto, não é analítica naquele ponto. - Vou calcular explicitamente
e suas derivadas parciais, e testar as equações acima ponto a ponto.
Passo 3
Identificar
e
a partir de
.
- A parte real
é
- A parte imaginária
é
Agora calculo as derivadas parciais (vou mostrar cada derivada e explicar a regra usada).
- Para
: tratar como constante; derivada de é , então
- Para
: tratar como constante; derivada de é , então
- Para
: tratar como constante; derivada de é , então
- Para
: tratar como constante; derivada de é , então
Observação: todas essas derivadas parciais existem e são funções contínuas em todo
, pois são combinações de exponencial, seno e cosseno.
Passo 4
Aplicar as Equações de Cauchy–Riemann substituindo as derivadas encontradas.
- Primeira equação
. Substituindo:
Isolando termos (dividindo por
, que nunca é zero), obtemos
Logo a primeira equação exige
.
- Segunda equação
. Substituindo:
Dividindo por
,
Logo a segunda equação exige
.
Passo 5
Concluir a partir das duas condições obtidas.
- Para satisfazer simultaneamente as duas Equações de Cauchy–Riemann, seria necessário ter ao mesmo tempo
e . - Não existe
que satisfaça simultaneamente e (seno e cosseno não podem ser ambos zero ao mesmo tempo). - Portanto, as Equações de Cauchy–Riemann não são satisfeitas em nenhum ponto
do plano. - Como as derivadas parciais são contínuas, a condição das CR é também suficiente localmente: como elas não valem em nenhum ponto, segue que
não é diferenciável (não é holomorfa) em nenhum ponto — ou seja, não é analítica em nenhum ponto.
Passo 6
Comentário adicional (intuitivo e útil para a prova).
- Observe que se reescrevermos
em termos de temos
- A função
é holomorfa em , mas aqui . Assim depende de , não de holomorficamente. Funções que dependem apenas de não são (em geral) holomorfas a menos que sejam constantes. Isso é um outro argumento simples que confirma o que vimos com as CR.
Resposta
A função
não é analítica em nenhum ponto do plano complexo.