Lembrete (definição de continuidade) — isto é importante e costuma cair nas provas:
Dizemos que f é contínua em z_{0} se, e somente se,
\lim_{z\to z_{0}} f(z)=f(z_{0}).
Na prática: calcule o limite \lim_{z\to i} f(z) (se existir) e compare com o valor dado f(i). Se forem iguais, é contínua; se o limite não existir ou for diferente de f(i), não é contínua.
Passo 3
Vamos calcular o limite \lim_{z\to i} f(z). Para z\neq i a função vale f(z)=z^{2}, portanto
\lim_{z\to i} f(z)=\lim_{z\to i} z^{2}.
Observação rápida e útil: polinômios em z são funções contínuas no plano complexo, logo \lim_{z\to i} z^{2}=i^{2}=-1. Assim, por esta razão direta,
\lim_{z\to i} f(z)=-1.
Passo 4
Para quem gosta (ou a prova exigir) de uma demonstração \varepsilon-\delta explicando por que \lim_{z\to i} z^{2}=-1, aqui vai um argumento elementar e instrutivo:
Isto mostra formalmente que \lim_{z\to i} z^{2}=-1. Portanto o limite existe e é -1.
Passo 5
Compare o limite com o valor da função no ponto:
Encontramos \lim_{z\to i} f(z)=-1.
Mas o enunciado define f(i)=0.
Como -1\neq 0, a condição de continuidade \lim_{z\to i} f(z)=f(i) não é satisfeita. Conclusão lógica: f não é contínua em z_{0}=i.
Classificação da descontinuidade: o limite existe (é -1) mas o valor da função é diferente; isso é chamado de descontinuidade removível. Se redefiníssemos f(i) para ser -1, a função ficaria contínua em i.
Passo 6
Dica prática para a prova (modo amigo): sempre que vir um pedaço com f(z)= polinômio para z\neq ponto e outro valor no ponto, primeiro calcule o limite pelo polinômio (pelo fato de polinômios serem contínuos), compare com o valor dado; se der diferente, já marca descontinuidade removível. Isso poupa trabalho e é rápido de justificar.
Resposta
A função não é contínua em z_{0}=i. \displaystyle \lim_{z\to i}f(z)=-1\neq f(i)=0.
Trata-se de uma descontinuidade removível (valor correto para tornar contínua: f(i)=-1).