Analise a continuidade das seguintes funções nos pontos indicados:
f(z)=\left\{\begin{array}{c}z^{2}, z \neq i \\\\ 0, z=i\end{array} ; z_{0}=i\right.

Passo 1

O enunciado dá uma função definida por partes e um ponto onde devemos analisar a continuidade. Dados fornecidos:
  • A função
f(z)=\begin{cases} z^{2}, & z\neq i,\\[4pt] 0, & z=i, \end{cases}
  • O ponto indicado é z_{0}=i.
O que o enunciado pede:
  • Verificar se f é contínua em z_{0}=i.]

Passo 2

Lembrete (definição de continuidade) — isto é importante e costuma cair nas provas:
  • Dizemos que f é contínua em z_{0} se, e somente se,
\lim_{z\to z_{0}} f(z)=f(z_{0}).
  • Na prática: calcule o limite \lim_{z\to i} f(z) (se existir) e compare com o valor dado f(i). Se forem iguais, é contínua; se o limite não existir ou for diferente de f(i), não é contínua.

Passo 3

Vamos calcular o limite \lim_{z\to i} f(z). Para z\neq i a função vale f(z)=z^{2}, portanto
\lim_{z\to i} f(z)=\lim_{z\to i} z^{2}.
Observação rápida e útil: polinômios em z são funções contínuas no plano complexo, logo \lim_{z\to i} z^{2}=i^{2}=-1. Assim, por esta razão direta,
\lim_{z\to i} f(z)=-1.

Passo 4

Para quem gosta (ou a prova exigir) de uma demonstração \varepsilon- \delta explicando por que \lim_{z\to i} z^{2}=-1, aqui vai um argumento elementar e instrutivo:
  • Considere a diferença
\left|z^{2}-(-1)\right|=\left|z^{2}+1\right|=\left|z-i\right|\left|z+i\right|.
  • Se tomarmos \delta\le 1 e 0<|z-i|<\delta, então
\left|z+i\right|=\left|z-i+2i\right|\le |z-i|+|2i|<1+2=3.
  • Logo, para 0<|z-i|<\delta\le 1 vale
\left|z^{2}+1\right|\le 3|z-i|.
  • Dados \varepsilon>0, escolha \delta=\min\{1,\varepsilon/3\}. Então, se 0<|z-i|<\delta,
\left|z^{2}+1\right|\le 3|z-i|<3\cdot \frac{\varepsilon}{3}=\varepsilon.
Isto mostra formalmente que \lim_{z\to i} z^{2}=-1. Portanto o limite existe e é -1.

Passo 5

Compare o limite com o valor da função no ponto:
  • Encontramos \lim_{z\to i} f(z)=-1.
  • Mas o enunciado define f(i)=0.
Como -1\neq 0, a condição de continuidade \lim_{z\to i} f(z)=f(i) não é satisfeita. Conclusão lógica: f não é contínua em z_{0}=i.
Classificação da descontinuidade: o limite existe (é -1) mas o valor da função é diferente; isso é chamado de descontinuidade removível. Se redefiníssemos f(i) para ser -1, a função ficaria contínua em i.

Passo 6

Dica prática para a prova (modo amigo): sempre que vir um pedaço com f(z)= polinômio para z\neq ponto e outro valor no ponto, primeiro calcule o limite pelo polinômio (pelo fato de polinômios serem contínuos), compare com o valor dado; se der diferente, já marca descontinuidade removível. Isso poupa trabalho e é rápido de justificar.

Resposta

A função não é contínua em z_{0}=i.
\displaystyle \lim_{z\to i}f(z)=-1\neq f(i)=0.
Trata-se de uma descontinuidade removível (valor correto para tornar contínua: f(i)=-1).

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