Usando as equações de Cauchy-Riemann, prove:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
é diferenciável em todo e que
.
Vamos usar as equações de Cauchy–Riemann para isso. Escrevemos
é diferenciável em todo
Vamos usar as equações de Cauchy–Riemann para isso. Escrevemos
Passo 2
Expressamos
em parte real e imaginária usando a fórmula de Euler:
Logo
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais necessárias:
Verificamos as equações de Cauchy–Riemann:
Como
são contínuas e satisfazem CR,
é holomorfa.
Passo 4
Para uma função holomorfa vale
Substituindo,
Reconhecemos