Usando as equações de Cauchy-Riemann, prove:
\frac{d \operatorname{sen} z}{d z}=\cos z

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função \displaystyle f(z)=\operatorname{sen}z
é diferenciável em todo \mathbb{C} e que \displaystyle f'(z)=\cos z.
Vamos usar as equações de Cauchy–Riemann para isso. Escrevemos
z = x + i y,\quad f(z)=u(x,y)+i\,v(x,y).

Passo 2

Expressamos \operatorname{sen}z em parte real e imaginária usando a fórmula de Euler:
\operatorname{sen}(x+iy) =\sin x\operatorname{cosh} y + i\,\cos x\operatorname{sinh} y.
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u(x,y)=\sin x\operatorname{cosh} y, \quad v(x,y)=\cos x\operatorname{sinh} y.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais necessárias:
u_x = \cos x\operatorname{cosh} y, \quad u_y = \sin x\operatorname{sinh} y,
v_x = -\sin x\operatorname{sinh} y, \quad v_y = \cos x\operatorname{cosh} y.
Verificamos as equações de Cauchy–Riemann:
u_x = \cos x\operatorname{cosh} y = v_y, \qquad u_y = \sin x\operatorname{sinh} y = -\,v_x.
Como u_x,u_y,v_x,v_y são contínuas e satisfazem CR, f é holomorfa.

Passo 4

Para uma função holomorfa vale
f'(z)=u_x + i\,v_x.
Substituindo,
f'(z) =\cos x\operatorname{cosh} y + i\bigl(-\sin x\operatorname{sinh} y\bigr) =\cos x\operatorname{cosh} y - i\,\sin x\operatorname{sinh} y.
Reconhecemos
\cos x\operatorname{cosh} y - i\,\sin x\operatorname{sinh} y =\cos(x+iy) =\cos z.

Resposta

\frac{d\,\operatorname{sen}z}{dz}=\cos z.

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