Usando as equações de Cauchy-Riemann, prove:
\frac{d e^{z}}{d z}=e^{z}

Passo 1

O enunciado pede para provar que, usando as equações de Cauchy–Riemann, a função
f(z)=e^{z}
tem derivada em todo z\in\mathbb{C} e que
\frac{d\,e^{z}}{d z}=e^{z}.
O conteúdo aqui é Análise Complexa: mostrar que f é holomorfa (satisfaça as equações de Cauchy–Riemann) e então usar a fórmula
f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\,\frac{\partial v}{\partial x}.

Passo 2

Escrevemos
e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}\bigl(\cos y+i\sin y\bigr).
Logo, definimos as partes real e imaginária como
u(x,y)=e^{x}\cos y, \qquad v(x,y)=e^{x}\sin y.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de u e v:
\frac{\partial u}{\partial x} =e^{x}\cos y, \quad \frac{\partial u}{\partial y} =-\,e^{x}\sin y,
\frac{\partial v}{\partial x} =e^{x}\sin y, \quad \frac{\partial v}{\partial y} =e^{x}\cos y.

Passo 4

Verificamos as equações de Cauchy–Riemann:
\frac{\partial u}{\partial x} =e^{x}\cos y \stackrel{?}{=} \frac{\partial v}{\partial y} =e^{x}\cos y \quad\text{e}\quad \frac{\partial u}{\partial y} =-\,e^{x}\sin y \stackrel{?}{=} -\,\frac{\partial v}{\partial x} =-\,e^{x}\sin y.
Elas se cumprem, logo f é holomorfa.

Passo 5

Como f é holomorfa, sua derivada é
f'(z) =\frac{\partial u}{\partial x}+i\,\frac{\partial v}{\partial x}.

Passo 6

Substituindo os valores de \partial u/\partial x e \partial v/\partial x, obtemos
f'(z) =e^{x}\cos y + i\,e^{x}\sin y =e^{x}(\cos y+i\sin y) =e^{z}.

Resposta

\displaystyle \frac{d\,e^{z}}{d z}=e^{z}.

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