Calcule:
\oint_{c} \frac{\operatorname{sen} \pi z^{2}+\cos \pi z^{2}}{(z-1)(z-2)} dz
\oint_{c} \frac{\operatorname{sen} \pi z^{2}+\cos \pi z^{2}}{(z-1)(z-2)} dz
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de contorno
Esse tipo de integral pertence ao conteúdo de funções de variável complexa e podemos resolvê-la usando o Teorema dos Resíduos, desde que saibamos quais polos estão dentro do contorno
. Vamos assumir que
é um contorno fechado e positivamente orientado que envolve os polos
e
.
Passo 2
Identificamos que o integrando tem polos simples em
e
, pois o denominador
zera-se nesses pontos. Pelo Teorema dos Resíduos:
onde a soma é sobre os polos internos a
. Vamos calcular
e
.
Passo 3
Para um polo simples em
,
No caso
:
Passo 4
Para
:
Passo 5
Somando os resíduos:
Aplicando o Teorema dos Resíduos: