Calcule:
\oint_{c} \frac{\operatorname{sen} \pi z^{2}+\cos \pi z^{2}}{(z-1)(z-2)} dz

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de contorno
\oint_C \frac{\sin(\pi z^2)+\cos(\pi z^2)}{(z-1)(z-2)}\,dz.
Esse tipo de integral pertence ao conteúdo de funções de variável complexa e podemos resolvê-la usando o Teorema dos Resíduos, desde que saibamos quais polos estão dentro do contorno C. Vamos assumir que C é um contorno fechado e positivamente orientado que envolve os polos z=1 e z=2.

Passo 2

Identificamos que o integrando tem polos simples em z=1 e z=2, pois o denominador (z-1)(z-2) zera-se nesses pontos. Pelo Teorema dos Resíduos:
\oint_C f(z)\,dz \;=\; 2\pi i \sum_{k}\Res(f,z_k),
onde a soma é sobre os polos internos a C. Vamos calcular \Res(f,1) e \Res(f,2).

Passo 3

Para um polo simples em z=a,
\Res(f,a) \;=\; \lim_{z\to a}(z-a)\,f(z).
No caso a=1:
\Res(f,1) = \lim_{z\to1}(z-1)\frac{\sin(\pi z^2)+\cos(\pi z^2)}{(z-1)(z-2)} = \frac{\sin(\pi\cdot1^2)+\cos(\pi\cdot1^2)}{1-2} = \frac{\sin(\pi)+\cos(\pi)}{-1} = \frac{0-1}{-1} =1.

Passo 4

Para a=2:
\Res(f,2) = \lim_{z\to2}(z-2)\frac{\sin(\pi z^2)+\cos(\pi z^2)}{(z-1)(z-2)} = \frac{\sin(\pi\cdot2^2)+\cos(\pi\cdot2^2)}{2-1} = \frac{\sin(4\pi)+\cos(4\pi)}{1} = \frac{0+1}{1} =1.

Passo 5

Somando os resíduos:
\sum_k \Res(f,z_k) \;=\; 1 + 1 \;=\; 2.
Aplicando o Teorema dos Resíduos:
\oint_C f(z)\,dz = 2\pi i \times 2 = 4\pi i.

Resposta

4\pi i

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