Na geometria euclidiana o ponto de intersecção das medianas de um triângulo é chamado de baricentro do triângulo. Esse ponto divide então a mediana relativa a cada lado em duas partes e sabe-se que: a parte que vai do vértice até o baricentro tem o dobro da medida da parte que vai do baricentro até o ponto médio do lado. Dados os vértices de um triângulo, A=\left(x_{A}, y_{A}, z_{A}\right), B=\left(x_{B}, y_{B}, z_{B}\right), e C=\left(x_{C}, y_{C}, z_{C}\right), mostre que as coordenada do baricentro G são dadas por
Pede para mostrar que as coordenadas do baricentro G (o ponto de interseção das medianas, que divide cada mediana na razão 2:1 a partir do vértice) são
Sabemos a posição dos três vértices A,B,C em coordenadas cartesianas em \mathbb{R}^3.
O baricentro G está sobre a mediana que parte de A e vai até o ponto médio do lado BC, e em cada mediana vale AG:GM=2:1 (onde M é o ponto médio de BC).
A tarefa é calcular coordenada por coordenada de G e obter a fórmula média indicada.
Passo 2
Definimos primeiro o ponto médio M do segmento BC. Vou explicar a ideia do ponto médio: o ponto médio de um segmento entre dois pontos é o ponto que fica exatamente na metade do caminho entre eles; em coordenadas, cada componente é a média aritmética das componentes dos extremos. Assim,
Comentário curto: essa fórmula vem de pensar na componente x — o valor de x no meio é \frac{x_B+x_C}{2}; mesmo para y e z.
Passo 3
Agora traduzimos a condição geométrica AG:GM=2:1 para uma expressão algébrica. Isso significa que, ao viajar de A até M, o baricentro G está a uma fração \tfrac{2}{3} do caminho contado a partir de A, porque AG corresponde a 2 partes e AM totaliza 3 partes ( AG=2k,\\ GM=k,\\ AM=3k ). Portanto, em vetores:
Em coordenadas isso se escreve como ponto-posicional:
G=A+\frac{2}{3}(M-A).
Explicando devagar: a expressão M-A é o vetor do ponto A até M; multiplicar por \tfrac{2}{3} dá o vetor do ponto A até G; somando com A obtemos a posição de G.
Passo 4
Vamos aplicar a fórmula componente a componente. Escrevo a coordenada x de G a partir de G=A+\tfrac{2}{3}(M-A). Primeiro substituo a coordenada x de M obtida no Passo 2:
Se você preferir, poderia ter repetido o mesmo argumento usando a mediana que parte de B ou a que parte de C; por simetria e unicidade do encontro das medianas, todas dão a mesma expressão média — isso confirma que a fórmula não depende de qual mediana usamos.