Na geometria euclidiana o ponto de intersecção das medianas de um triângulo é chamado de baricentro do triângulo. Esse ponto divide então a mediana relativa a cada lado em duas partes e sabe-se que: a parte que vai do vértice até o baricentro tem o dobro da medida da parte que vai do baricentro até o ponto médio do lado. Dados os vértices de um triângulo, A=\left(x_{A}, y_{A}, z_{A}\right), B=\left(x_{B}, y_{B}, z_{B}\right), e C=\left(x_{C}, y_{C}, z_{C}\right), mostre que as coordenada do baricentro G são dadas por
G=\left(\frac{x_{A}+x_{B}+x_{C}}{3}, \frac{y_{A}+y_{B}+y_{C}}{3}, \frac{z_{A}+z_{B}+z_{C}}{3}\right) .

Passo 1

O enunciado dá os vértices do triângulo:
A=\left(x_{A},y_{A},z_{A}\right),\qquad B=\left(x_{B},y_{B},z_{B}\right),\qquad C=\left(x_{C},y_{C},z_{C}\right).
Pede para mostrar que as coordenadas do baricentro G (o ponto de interseção das medianas, que divide cada mediana na razão 2:1 a partir do vértice) são
G=\left(\frac{x_{A}+x_{B}+x_{C}}{3},\;\frac{y_{A}+y_{B}+y_{C}}{3},\;\frac{z_{A}+z_{B}+z_{C}}{3}\right).
Informações relevantes listadas:
  • Sabemos a posição dos três vértices A,B,C em coordenadas cartesianas em \mathbb{R}^3.
  • O baricentro G está sobre a mediana que parte de A e vai até o ponto médio do lado BC, e em cada mediana vale AG:GM=2:1 (onde M é o ponto médio de BC).
  • A tarefa é calcular coordenada por coordenada de G e obter a fórmula média indicada.

Passo 2

Definimos primeiro o ponto médio M do segmento BC. Vou explicar a ideia do ponto médio: o ponto médio de um segmento entre dois pontos é o ponto que fica exatamente na metade do caminho entre eles; em coordenadas, cada componente é a média aritmética das componentes dos extremos. Assim,
M=\left(\frac{x_{B}+x_{C}}{2},\;\frac{y_{B}+y_{C}}{2},\;\frac{z_{B}+z_{C}}{2}\right).
Comentário curto: essa fórmula vem de pensar na componente x — o valor de x no meio é \frac{x_B+x_C}{2}; mesmo para y e z.

Passo 3

Agora traduzimos a condição geométrica AG:GM=2:1 para uma expressão algébrica. Isso significa que, ao viajar de A até M, o baricentro G está a uma fração \tfrac{2}{3} do caminho contado a partir de A, porque AG corresponde a 2 partes e AM totaliza 3 partes ( AG=2k,\\ GM=k,\\ AM=3k ). Portanto, em vetores:
\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\,\overrightarrow{AM}.
Em coordenadas isso se escreve como ponto-posicional:
G=A+\frac{2}{3}(M-A).
Explicando devagar: a expressão M-A é o vetor do ponto A até M; multiplicar por \tfrac{2}{3} dá o vetor do ponto A até G; somando com A obtemos a posição de G.

Passo 4

Vamos aplicar a fórmula componente a componente. Escrevo a coordenada x de G a partir de G=A+\tfrac{2}{3}(M-A). Primeiro substituo a coordenada x de M obtida no Passo 2:
x_G = x_A + \frac{2}{3}\left(\frac{x_B+x_C}{2} - x_A\right).
Agora faço as contas passo a passo para deixar claro como simplificar:
x_G = x_A + \frac{2}{3}\cdot\frac{x_B+x_C-2x_A}{2} = x_A + \frac{1}{3}\bigl(x_B+x_C-2x_A\bigr).
Explicando cada passo: multipliquei \frac{2}{3} por \frac{1}{2} para obter \frac{1}{3}, e distribuí sobre os termos dentro do parêntese.

Passo 5

Continuo simplificando x_G:
x_G = x_A + \frac{1}{3}x_B+\frac{1}{3}x_C-\frac{2}{3}x_A = \frac{3}{3}x_A - \frac{2}{3}x_A + \frac{1}{3}x_B + \frac{1}{3}x_C = \frac{x_A+x_B+x_C}{3}.
Observe que usei a soma dos coeficientes de x_A para combinar termos: 1-\tfrac{2}{3}=\tfrac{1}{3}.

Passo 6

O mesmo raciocínio vale para as coordenadas y e z. Aplicando exatamente os mesmos passos ao componente y:
y_G = y_A + \frac{2}{3}\left(\frac{y_B+y_C}{2}-y_A\right)
segue-se a mesma simplificação e obtemos
y_G = \frac{y_A+y_B+y_C}{3}.
E para a componente z:
z_G = z_A + \frac{2}{3}\left(\frac{z_B+z_C}{2}-z_A\right)
leva a
z_G = \frac{z_A+z_B+z_C}{3}.

Passo 7

Conclusão técnica e comentário de verificação: juntando as três componentes, obtemos exatamente
G=\left(\frac{x_{A}+x_{B}+x_{C}}{3},\;\frac{y_{A}+y_{B}+y_{C}}{3},\;\frac{z_{A}+z_{B}+z_{C}}{3}\right).
Se você preferir, poderia ter repetido o mesmo argumento usando a mediana que parte de B ou a que parte de C; por simetria e unicidade do encontro das medianas, todas dão a mesma expressão média — isso confirma que a fórmula não depende de qual mediana usamos.

Resposta

G=\left(\frac{x_{A}+x_{B}+x_{C}}{3},\;\frac{y_{A}+y_{B}+y_{C}}{3},\;\frac{z_{A}+z_{B}+z_{C}}{3}\right)

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