Usando a expressão da Primeira e Segunda Lei combinada
e as expressões para energia livre de Helmholtz
e Gibbs
, respectivamente. Mostre que para um gás temos:
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes relações e pede para mostrar duas diferenças diferenciais:
As perguntas explícitas são:
- Mostrar que
. - Mostrar que
.
Informações relevantes dadas:
- A expressão combinada da Primeira e Segunda Lei é
. - As definições das energias livres de Helmholtz e Gibbs são
e acima. - Vamos trabalhar com diferenciais e usar regras básicas de diferenciação (regra do produto).
Passo 2
Lembrando a regra do produto para diferenciais: se
e
são funções, então
Aplicamos essa regra aos produtos que aparecem nas definições:
e
Aqui eu expliquei cada termo: em
,
e
podem variar, então o diferencial tem uma parcela com
e outra com
. Mesma ideia para
.
Passo 3
Agora calculamos
a partir da definição
. Usamos a linearidade do diferencial:
Substituímos
pela expressão dada e
pela encontrada na regra do produto:
Distribuindo o sinal e agrupando termos semelhantes obtemos
Os termos
se cancelam (
), sobrando
Pronto — essa é exatamente a forma pedida para
.
Passo 4
Agora calculamos
a partir da definição
. De novo, diferencial linear:
Substituímos
,
e
pelas expressões já obtidas:
Agora distribuímos e agrupamos:
Observamos que
cancela com
e que
cancela com
. Restam apenas
Essa é exatamente a forma pedida para
.
Passo 5
Interpretação curta e prática para a prova:
- Em
as variáveis naturais de são e ; os coeficientes e aparecem como derivadas parciais de em relação a e , respectivamente. - Em
as variáveis naturais de são e ; os coeficientes e são as derivadas parciais de em relação a e .
Você conseguiu! Essas manipulações são só aplicação da regra do produto e substituição do diferencial
. Na prova, escreva passo a passo como fiz aqui, cancelando termos explicitamente — isso evita erros bobos e garante os sinais certos.