Usando fatiamento, determine o volume do sólido cuja base é a região limitada pelas curvas y=x^2 e y=8-x^3, e cuja altura mede 4 unidades de comprimento.

Passo 1

O enunciado pede o volume de um sólido que é um “prisma reto” de altura constante 4 cuja base é a região do plano limitada pelas curvas
y = x^2 e y = 8 - x^3
Para usar fatiamento vertical, em cada x o “fatiamento” na direção y tem comprimento
l(yrm topo-yrm fundor) = l((8 - x^3) - x^2r),
e o volume total seria
V = integralx=a^x=b l((8 - x^3)-x^2r),l(a<ura=4r),dx =4integrala^b(8 - x^3 - x^2),dx,
onde a e b são as abscissas de interseção das duas curvas.

Passo 2

Encontramos as interseções de
x^2 = 8 - x^3 Longrightarrow x^3 + x^2 - 8 = 0
O polinômio x^3+x^2-8 tem exatamente uma raiz real (as outras duas são complexas). Numericamente
x0approx 1,717,
Logo as duas curvas se cruzam apenas em xapprox1,717.

Passo 3

Uma única interseção significa que a região definida por
x^2 <= y <= 8 - x^3
não fica fechada entre dois valores de x; ela escapa lateralmente e é ilimitada.

Passo 4

Como a base não é uma região fechada e limitada, o sólido resultante tem área de base infinita e, portanto, volume infinito.

Resposta

O volume é infinito, pois a região base definida pelas curvas não é limitada.

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