Verifique onde as funções a seguir são diferenciáveis:
4.2
No ponto P(0,0)
f(x, y)= x^2 yx^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= dfracx^2yx^2+y^2,&(x,y)neq(0,0),[6pt] 0,&(x,y)=(0,0)
Queremos verificar se f é diferenciável no ponto P(0,0). Para isso, vamos checar (i) continuidade em (0,0), (ii) derivadas parciais em (0,0) e (iii) usar a definição de diferenciabilidade, examinando se o resto é o(|(x,y)|).]

Passo 2

Continuidade em (0,0). Em coordenadas polares (x,y)=(rcostheta,rsintheta) com r>0,
f(rcostheta,rsintheta) =(rcostheta)^2,(rsintheta)r^2 =rcos^2thetasintheta
Daí
l|f(rcostheta,rsintheta)r| <= rl|cos^2thetasinthetar| <= r,
e como rto0 obtemos f(x,y)to0=f(0,0). Logo, f é contínua em (0,0).

Passo 3

Derivadas parciais em (0,0). Pela definição,
partial fpartial x(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto00h =0,
partial fpartial y(0,0) =limhto0f(0,h)-f(0,0)h =limhto00h =0

Passo 4

Teste de diferenciabilidade. Se f fosse diferenciável em (0,0), o aproximante linear seria
L(x,y)=0cdot x+0cdot y=0
e precisaríamos ter
lim(x,y)to(0,0) f(x,y)-L(x,y)raizx^2+y^2 =lim(x,y)to(0,0) f(x,y)raizx^2+y^2 =0
Mas, ao aproximar por y=kx com kneq0,
f(x,kx) =x^2,(kx)x^2+k^2x^2 =kx1+k^2,
então
f(x,kx)raizx^2+k^2x^2 =tfrackx1+k^2|x|raiz1+k^2 =k(1+k^2)^3/2cdotx|x|
não tende a 0 quando xto0. Isso mostra que o resto não é o(|(x,y)|), e portanto f não é diferenciável em (0,0).

Resposta

A função f não é diferenciável no ponto P(0,0).

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