Determine a solução geral das equações abaixo:
y^prime prime+9 y=9 sec ^2(3 t), 0<t<pi / 6;

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação não-homogênea de segunda ordem
y'' + 9y = 9sec^2(3t), 0 < t < pi/6
O conteúdo aqui é resolver um EDO linear não-homogêneo usando o método de variação de parâmetros. Para isso, precisamos primeiro achar a solução geral da equação homogênea associada e depois aplicar variação de parâmetros para obter uma solução particular.

Passo 2

A equação homogênea é
y'' + 9y = 0
A equação característica é lambda^2 +9=0, com raízes lambda=pm3i. Logo, duas soluções fundamentais são
y1(t)=cos(3t), y2(t)=sin(3t)
A solução geral da homogênea é
yh(t)=C1cos(3t)+C2sin(3t)

Passo 3

Para variação de parâmetros precisamos do Wronskiano
W(t) = y1 & y2 y1'&y2' =cos(3t)cdot3cos(3t)-(-3sin(3t))cdotsin(3t) =3l(cos^2(3t)+sin^2(3t)r) =3

Passo 4

As fórmulas de variação de parâmetros dizem que
u1'(t) = -y2(t),f(t)W(t), u2'(t) = y1(t),f(t)W(t),
onde f(t)=9sec^2(3t). Assim
u1'(t) =-sin(3t),9sec^2(3t)3 =-3,sin(3t)sec^2(3t) =-3,tan(3t)sec(3t),
u2'(t) =cos(3t),9sec^2(3t)3 =3,cos(3t)sec^2(3t) =3,sec(3t)

Passo 5

Integramos para obter u1 e u2:
u1(t) =-3integral tan(3t)sec(3t),dt
Use v=sec(3t), dv=3tan(3t)sec(3t),dt, então
u1(t) =-3cdot13integral dv =-integral dv =-sec(3t)
Para u2:
u2(t) =3integral sec(3t),dt =3cdot13lnl|sec(3t)+tan(3t)r| =lnl|sec(3t)+tan(3t)r|

Passo 6

A solução particular é
yp(t) =u1(t),y1(t)+u2(t),y2(t) =-sec(3t)cos(3t) +lnl|sec(3t)+tan(3t)r|sin(3t)
Como sec(3t)cos(3t)=1, fica
yp(t)=-1+sin(3t),lnl|sec(3t)+tan(3t)r|

Passo 7

A solução geral da equação não-homogênea é a soma de yh com yp:
y(t) =C1cos(3t)+C2sin(3t) -1+sin(3t),lnl|sec(3t)+tan(3t)r|

Resposta

boxedy(t)=C1cos(3t)+C2sin(3t)-1+sin(3t),lnl|sec(3t)+tan(3t)r|

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