Verifique onde as funções a seguir são diferenciáveis:
4.2
No ponto P(0,0)
f(x, y)= 3 x^2 yx^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado pede para verificar a diferenciabilidade de f em P(0,0). Para isso usamos a definição em R^2: f é diferenciável em (0,0) se existem fx(0,0) e fy(0,0) tais que, definindo
L(x,y) = f(0,0) + fx(0,0),x + fy(0,0),y,
o resto
R(x,y) = f(x,y) - L(x,y)
satisfaça
lim(x,y)to(0,0) R(x,y)raizx^2+y^2 = 0

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais em (0,0) pela definição:
fx(0,0) = limhto0 f(h,0)-f(0,0)h = limhto0 0-0h = 0,
fy(0,0) = limhto0 f(0,h)-f(0,0)h = limhto0 0-0h = 0

Passo 3

Se f fosse diferenciável em (0,0), a aproximação linear seria
L(x,y) = 0 + 0cdot x + 0cdot y = 0
Então o resto vale
R(x,y) = f(x,y),
e precisamos checar se
lim(x,y)to(0,0) f(x,y)raizx^2+y^2 = 0

Passo 4

Na reta y=kx (com kneq0) temos
f(x,kx) = 3x^2,(kx)x^2+(kx)^2 = 3k,x^3x^2(1+k^2) = 3k,x1+k^2
Logo
f(x,kx)raizx^2+(kx)^2 = 3k,x1+k^2|x|raiz1+k^2 = 3|k|(1+k^2)^3/2,
que é constante não nula para kneq0. Portanto o limite não se anula e a definição de diferenciabilidade falha.

Resposta

A função f não é diferenciável no ponto P(0,0).

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