Usando o fato que
integral-1^3 x^2 d x=283 ; integral-1^3 x d x=4
calcule as seguintes integrais
integral-1^3(5+2 x)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo integral. O enunciado nos dá duas integrais definidas:
integral-1^3 x^2 ,dx = 283 e integral-1^3 x ,dx = 4
E a gente precisa calcular essa integral aqui:
integral-1^3(5 + 2x)^2 ,dx
Pra resolver isso, vamos usar conhecimentos de álgebra para expandir o integrando e depois aplicar as integrais que já conhecemos. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o quadrado da expressão (5 + 2x)^2. Isso significa multiplicar (5 + 2x) por ele mesmo:
(5 + 2x)^2 = 5^2 + 2 cdot 5 cdot 2x + (2x)^2 = 25 + 20x + 4x^2
Então, a integral que queremos calcular fica:
integral-1^3 (25 + 20x + 4x^2) ,dx

Passo 3

Agora, vamos separar essa integral em três partes, já que a integral da soma é a soma das integrais:
integral-1^3 25 ,dx + integral-1^3 20x ,dx + integral-1^3 4x^2 ,dx
Isso facilita o cálculo, porque podemos resolver cada integral individualmente.

Passo 4

Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente. Lembrando que a integral de uma constante a sobre um intervalo [a, b] é a(b - a), e a integral de x ou x^2 segue regras conhecidas.
  1. Primeira integral:
integral-1^3 25 ,dx = 25 cdot (3 - (-1)) = 25 cdot 4 = 100
  1. Segunda integral:
    Já sabemos que
integral-1^3 x ,dx = 4
Então,
integral-1^3 20x ,dx = 20 cdot integral-1^3 x ,dx = 20 cdot 4 = 80
  1. Terceira integral:
    Também sabemos que
integral-1^3 x^2 ,dx = 283
Então,
integral-1^3 4x^2 ,dx = 4 cdot integral-1^3 x^2 ,dx = 4 cdot 283 = 1123

Passo 5

Agora, vamos somar os resultados das três integrais:
100 + 80 + 1123 = 180 + 1123
Para somar, vamos converter 180 para ter o mesmo denominador:
180 = 5403
Então,
5403 + 1123 = 6523

Resposta

A integral integral-1^3(5 + 2x)^2 ,dx é igual a 6523.

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