Usando o fato que
integral-1^3 x^2 d x=283 ; integral-1^3 x d x=4
calcule as seguintes integrais
integral-1^3(-2+7 x+4 x^2) d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral definida de -2 + 7x + 4x^2 no intervalo de -1 a 3. Para isso, vamos usar o conceito de linearidade das integrais, que nos permite separar a integral de uma soma em somas de integrais individuais. Além disso, vamos utilizar as integrais que já foram fornecidas no enunciado:
integral-1^3 x^2 , dx = 283 e integral-1^3 x , dx = 4

Passo 2

Vamos começar dividindo a integral original em três partes separadas:
integral-1^3 (-2 + 7x + 4x^2) , dx = integral-1^3 (-2) , dx + integral-1^3 7x , dx + integral-1^3 4x^2 , dx

Passo 3

Agora, vamos resolver cada uma dessas integrais individualmente. Quando temos uma constante multiplicando a função dentro da integral, podemos fatorar essa constante para fora da integral:
integral-1^3 (-2) , dx = -2 integral-1^3 dx
integral-1^3 7x , dx = 7 integral-1^3 x , dx
integral-1^3 4x^2 , dx = 4 integral-1^3 x^2 , dx

Passo 4

Vamos resolver a primeira integral:
integral-1^3 dx
Esta integral representa a área sob a curva y = 1 de -1 a 3, ou seja, simplesmente o comprimento do intervalo multiplicado por 1:
integral-1^3 dx = 3 - (-1) = 4
Então:
-2 integral-1^3 dx = -2 times 4 = -8

Passo 5

Para a segunda integral, já temos o valor fornecido no enunciado:
integral-1^3 x , dx = 4
Multiplicando pela constante:
7 integral-1^3 x , dx = 7 times 4 = 28

Passo 6

Finalmente, para a terceira integral, também usamos o valor dado:
integral-1^3 x^2 , dx = 283
Multiplicando pela constante:
4 integral-1^3 x^2 , dx = 4 times 283 = 1123

Resposta

Agora, somamos todas as partes que calculamos:
-8 + 28 + 1123 = 20 + 1123
Para somar, vamos converter 20 para uma fração com denominador 3:
20 = 603
Então:
603 + 1123 = 1723
Portanto, a integral integral-1^3(-2 + 7x + 4x^2) , dx é igual a:
1723

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