Usando este fato, e dados os vetores u=(1,2,3) e v=(-3,0,1) do R^3, pede-se:
c) determine os vetores (a, b, c) do R^3 que são ortogonais a u e a v simultaneamente.

Passo 1

Estamos procurando todos os vetores (a,b,c) em R^3 que sejam simultaneamente ortogonais a u=(1,2,3) e a v=(-3,0,1). Esse problema cai em subespaços ortogonais e produto vetorial: sabemos que, em R^3, todo vetor ortogonal a dois vetores não colineares é proporcional ao produto vetorial desses vetores.

Passo 2

Primeiro, confirmamos que u e v não são colineares calculando seu produto vetorial e vendo que ele não é o vetor nulo. Isso implica que o subespaço ortogonal comum tem dimensão 1.

Passo 3

Agora, calculamos o produto vetorial utimes v pelo determinante de uma matriz 3×3 com as bases canônicas:
> u times v = > > i & j & k > 1 & 2 & 3 > -3 & 0 & 1 > > = (2cdot1-3cdot0)i - (1cdot1-3cdot(-3))j + (1cdot0-2cdot(-3))k > = 2i - 10j + 6k >

Passo 4

Como todo vetor ortogonal a u e v deve ser múltiplo escalar de (2,-10,6), podemos tirar fator comum 2 e escrever a forma mais simples (1,-5,3). Assim, o conjunto solução é a reta gerada por esse vetor.

Resposta

Os vetores são todos os múltiplos de (1,-5,3), isto é, (a,b,c)=t(1,-5,3), tinR.

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