Verifique que no
vale a Lei do Paralelogramo (dica: use o exercício 3):
.
Dê uma interpretação geométrica deste resultado.
Dê uma interpretação geométrica deste resultado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar a Lei do Paralelogramo no espaço bidimensional, ℝ². Essa lei diz que para quaisquer vetores u e v, a soma dos quadrados das normas de u + v e u - v é igual ao dobro da soma dos quadrados das normas de u e v. Vamos precisar usar propriedades de vetores e produtos internos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a norma de um vetor a é dada por $ |a| = \sqrt{a \cdot a} $, onde $ a \cdot a $ é o produto interno de a consigo mesmo. Então, ao elevarmos ao quadrado, temos $ |a|^2 = a \cdot a $.
Passo 3
Aplicando isso aos vetores u + v e u - v, temos:
Passo 4
Vamos expandir esses produtos usando a distributiva do produto interno:
Passo 5
Notice que $ u \cdot v = v \cdot u $, então podemos simplificar as expressões:
Passo 6
Agora, somamos as duas expressões:
Passo 7
Simplificando a soma:
Que é exatamente a Lei do Paralelogramo que queríamos verificar.
Resposta
Assim, comprovamos que no ℝ² a Lei do Paralelogramo vale:
Além disso, essa relação geométrica nos mostra que em um paralelogramo, a soma dos quadrados dos comprimentos das diagonais é igual ao dobro da soma dos quadrados dos comprimentos dos lados. Isso reflete a simetria e as propriedades dos vetores no espaço.