Verifique que no R^2 vale a Lei do Paralelogramo (dica: use o exercício 3):
|u+v|^2+|u-v|^2=2|u|^2+2|v|^2, forall u, v in R^2.
Dê uma interpretação geométrica deste resultado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar a Lei do Paralelogramo no espaço bidimensional, ℝ². Essa lei diz que para quaisquer vetores u e v, a soma dos quadrados das normas de u + v e u - v é igual ao dobro da soma dos quadrados das normas de u e v. Vamos precisar usar propriedades de vetores e produtos internos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a norma de um vetor a é dada por $ |a| = \sqrt{a \cdot a} $, onde $ a \cdot a $ é o produto interno de a consigo mesmo. Então, ao elevarmos ao quadrado, temos $ |a|^2 = a \cdot a $.

Passo 3

Aplicando isso aos vetores u + v e u - v, temos:
|u + v|^2 = (u + v) cdot (u + v)
|u - v|^2 = (u - v) cdot (u - v)

Passo 4

Vamos expandir esses produtos usando a distributiva do produto interno:
(u + v) cdot (u + v) = u cdot u + u cdot v + v cdot u + v cdot v
(u - v) cdot (u - v) = u cdot u - u cdot v - v cdot u + v cdot v

Passo 5

Notice que $ u \cdot v = v \cdot u $, então podemos simplificar as expressões:
u cdot v = v cdot u
|u + v|^2 = |u|^2 + 2(u cdot v) + |v|^2

Passo 6

Agora, somamos as duas expressões:
|u + v|^2 + |u - v|^2 = (|u|^2 + 2(u cdot v) + |v|^2) + (|u|^2 - 2(u cdot v) + |v|^2)

Passo 7

Simplificando a soma:
|u + v|^2 + |u - v|^2 = 2|u|^2 + 2|v|^2
Que é exatamente a Lei do Paralelogramo que queríamos verificar.

Resposta

Assim, comprovamos que no ℝ² a Lei do Paralelogramo vale:
|u + v|^2 + |u - v|^2 = 2|u|^2 + 2|v|^2
Além disso, essa relação geométrica nos mostra que em um paralelogramo, a soma dos quadrados dos comprimentos das diagonais é igual ao dobro da soma dos quadrados dos comprimentos dos lados. Isso reflete a simetria e as propriedades dos vetores no espaço.

Exercícios relacionados