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usando a definição de derivada, isto é,
. Estabeleça os domínios da função e da derivada.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) calcular
usando a definição
e (2) estabelecer os domínios da função
e da derivada
.
A função dada é . As informações relevantes são: a expressão dentro da raiz é
e isso impõe restrições ao domínio real.
A função dada é
Passo 2
Determinar o domínio de
. Para que
seja real é necessário que
Resolvendo essa desigualdade:
Portanto o domínio da função é
Passo 3
Escrever o quociente incremental e substituir
. Pelo enunciado temos
Se substituirmos
obtemos a forma
, indeterminada. Para eliminar essa indeterminação vamos racionalizar o numerador multiplicando por sua conjugada.
Passo 4
Multiplicar numerador e denominador pela conjugada e simplificar. Consideramos
No numerador fica a diferença de quadrados:
Como estamos avaliando um limite com
no processo, podemos cancelar
obtendo
Passo 5
Agora aplicamos o limite
. A função raiz é contínua onde seu argumento é positivo, então podemos substituir
diretamente na expressão simplificada (desde que
esteja definida e positiva). Assim
Essa expressão só faz sentido (é finita e real) quando
, ou seja, quando
Passo 6
Analisar o ponto
(o extremo do domínio). Para
temos
e para
a expressão
não é real (fora do domínio). Para
a diferença quociente é
Tomando
com
pequeno obtemos
Portanto a derivada não existe (não é um número finito) em
. Ou seja, não há derivada de dois lados nesse ponto dentro do conjunto real.
Passo 7
Conclusão: a derivada, calculada pela definição, é
sempre que
. O ponto
não admite derivada finita no sentido usual.