Encontre f^{\prime}(a) usando a definição de derivada, isto é, f^{\prime}(a)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}. Estabeleça os domínios da função e da derivada.
f(x)=\sqrt{1-2 x}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) calcular f'(a) usando a definição
f'(a)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x},
e (2) estabelecer os domínios da função f e da derivada f'.
A função dada é f(x)=\sqrt{1-2x}. As informações relevantes são: a expressão dentro da raiz é 1-2x e isso impõe restrições ao domínio real.

Passo 2

Determinar o domínio de f. Para que \sqrt{1-2x} seja real é necessário que
1-2x\ge 0.
Resolvendo essa desigualdade:
1-2x\ge 0 \quad\Longrightarrow\quad -2x\ge -1 \quad\Longrightarrow\quad x\le \tfrac{1}{2}.
Portanto o domínio da função é
\text{Dom}(f)=(-\infty,\tfrac{1}{2}].

Passo 3

Escrever o quociente incremental e substituir f. Pelo enunciado temos
\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x} = \frac{\sqrt{1-2(a+\Delta x)}-\sqrt{1-2a}}{\Delta x} = \frac{\sqrt{\,1-2a-2\Delta x\,}-\sqrt{\,1-2a\,}}{\Delta x}.
Se substituirmos \Delta x=0 obtemos a forma \dfrac{0}{0}, indeterminada. Para eliminar essa indeterminação vamos racionalizar o numerador multiplicando por sua conjugada.

Passo 4

Multiplicar numerador e denominador pela conjugada e simplificar. Consideramos
\frac{\sqrt{1-2a-2\Delta x}-\sqrt{1-2a}}{\Delta x} \cdot \frac{\sqrt{1-2a-2\Delta x}+\sqrt{1-2a}}{\sqrt{1-2a-2\Delta x}+\sqrt{1-2a}}.
No numerador fica a diferença de quadrados:
\frac{(1-2a-2\Delta x)-(1-2a)}{\Delta x\big(\sqrt{1-2a-2\Delta x}+\sqrt{1-2a}\big)} = \frac{-2\Delta x}{\Delta x\big(\sqrt{1-2a-2\Delta x}+\sqrt{1-2a}\big)}.
Como estamos avaliando um limite com \Delta x\neq 0 no processo, podemos cancelar \Delta x obtendo
\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x} = \frac{-2}{\sqrt{1-2a-2\Delta x}+\sqrt{1-2a}}.

Passo 5

Agora aplicamos o limite \Delta x\to 0. A função raiz é contínua onde seu argumento é positivo, então podemos substituir \Delta x=0 diretamente na expressão simplificada (desde que \sqrt{1-2a} esteja definida e positiva). Assim
f'(a)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{-2}{\sqrt{1-2a-2\Delta x}+\sqrt{1-2a}} = \frac{-2}{2\sqrt{1-2a}} = -\frac{1}{\sqrt{1-2a}}.
Essa expressão só faz sentido (é finita e real) quando \sqrt{1-2a}>0, ou seja, quando
1-2a>0 \quad\Longrightarrow\quad a<\tfrac{1}{2}.

Passo 6

Analisar o ponto a=\tfrac{1}{2} (o extremo do domínio). Para a=\tfrac{1}{2} temos f(a)=0 e para \Delta x>0 a expressão f(a+\Delta x) não é real (fora do domínio). Para \Delta x<0 a diferença quociente é
\frac{\sqrt{1-2\big(\tfrac{1}{2}+\Delta x\big)}-0}{\Delta x} = \frac{\sqrt{-2\Delta x}}{\Delta x}.
Tomando \Delta x=-h com h>0 pequeno obtemos
\frac{\sqrt{2h}}{-h}=-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{h}}\to -\infty \quad\text{quando }h\to 0^+.
Portanto a derivada não existe (não é um número finito) em a=\tfrac{1}{2}. Ou seja, não há derivada de dois lados nesse ponto dentro do conjunto real.

Passo 7

Conclusão: a derivada, calculada pela definição, é
f'(a)=-\frac{1}{\sqrt{1-2a}}
sempre que a<\tfrac{1}{2}. O ponto a=\tfrac{1}{2} não admite derivada finita no sentido usual.

Resposta

\displaystyle f'(a)=-\frac{1}{\sqrt{1-2a}},\quad a<\tfrac{1}{2}.
\displaystyle \text{Dom}(f)=(-\infty,\tfrac{1}{2}].
\displaystyle \text{Dom}(f')=(-\infty,\tfrac{1}{2}).

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